Enunciado

Encontre bases dos autoespaços das matrizes no Exercício 3.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 3, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com a matriz que já conhecemos, nesse primeiro caso teremos,

1 -   λ 0 0 1 -   λ x 1 x 2 = 0 0

Para λ = 1 ,

0 0 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

x 1 = 0

x 2 = 0

Passo 2

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

x 1 x 2

Resposta

Analisando a resposta anterior, percebemos que não importa quais os valores no vetor x assuma, teremos sempre a resposta igual a zero, pois a matriz A é nula. Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 1 pode assumir qualquer valor,

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