Enunciado

Encontre bases dos autoespaços das matrizes no Exercício 3.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 3, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com a matriz que já conhecemos, nesse primeiro caso teremos,

0 -   λ 3 4 0 -   λ x 1 x 2 = 0 0

Para λ = 12 ,

- 12 3 4 - 12   x 1 x 2 = 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

- 12 x 1 + 3 x 2 = 0 4 x 1 - 12 x 2 = 0

Botando x 1 em evidência,

x 1 =   3 2 x 2

Passo 2

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

3 2 x 2 x 2

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 12 é,

3 2 1

Terminando essa etapa, teremos que repetir todo o processo acima para o autovalor para finalizarmos a questão.

Para λ = - 12 ,

12 3 4 12   x 1 x 2 = 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

12 x 1 + 3 x 2 = 0 4 x 1 + 12 x 2 = 0

Botando x 1 em evidência,

x 1 =   - 3 2 x 2

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = - 12 é,

- 3 2 1

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