Enunciado

Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 6.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 6, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados. Iremos que começar com a matriz da letra A da questão 6, e depois, iremos seguirmos os mesmos passos para as outras.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com cada item do exercício 6, nesse primeiro caso teremos,

4 - λ 0 1 - 2 1 - λ 0 - 2 0 1 - λ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ = 3 ,

1 0 1 - 2 - 2 0 - 2 0 - 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

x 1 + x 3 = 0 - 2 x 1 - 2 x 2 = 0 - 2 x 1 - 2 x 3 = 0

Passo 2

Agora, teremos que resolver o sistema para encontrarmos nossa resposta. Aplicando qualquer tipo de solução de sistemas, encontraremos o seguinte resultado,

x 1 = - x 3

x 2 = x 3

Passo 3

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

- x 3 x 3 x 3

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 3 é,

- 1 1 1

Terminando essa etapa, teremos que repetir todo o processo acima para os outros autovalores para finalizarmos a questão.

Para λ = 1 ,

3 0 1 - 2 0 0 - 2 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

3 x 1 + x 3 = 0 - 2 x 1 = 0 - 2 x 1 = 0

Resolvendo o sistema,

x 1 =   0

x 3 = - 3 x 1 = 0

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 1 é,

0 1 0

Para λ = 2   ,

2 0 1 - 2 - 1 0 - 2 0 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

2 x 1 + x 3 = 0 - 2 x 1 - x 2 = 0 - 2 x 1 - x 3 = 0

Resolvendo o sistema,

x 3 = - 2 x 1

x 2 = x 3

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 2 é,

1 - 2 - 2

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