Enunciado

Prove que se A for uma matriz m × n qualquer, então A T A tem um conjunto ortonormal de n autovetores.

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos escrever uma matriz m × n :

A = 1 2 4 2 1 3

Como precisamos dos autovetores, e para isso a matriz precisa ser quadrada, então vamos multiplicar a matriz A pela sua transposta:

A 2 = A A T = 1 2 4 2 1 3 ∙ 1 2 2 1 4 3

A 2 = A A T = 1 + 4 + 16 2 + 2 + 12 8 + 8 + 3 4 + 1 + 9

A 2 = A A T = 21 16 16 14

Passo 2

Vamos calcular os autovalores e autovetores.

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 3

Primeiro vamos fazer o autovalor:

  A - λ I = 0

λ I = 1 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 λ

Passo 4

Retornando para:

λ I - A 2 = 0

Substituindo os valores:

λ I - A 2 = λ 0 0 λ - 21 16 16 14

Reescrevendo:

λ I - A 2 = λ - 21 - 16 - 16 λ - 14

Então, temos:

λ - 21 - 16 - 16 λ - 14 = 0

λ - 21 ∙ λ - 14 - 256 = 0

λ 2 - 35 λ + 294 - 256 = 0

λ 2 - 35 λ + 38 = 0

Lembra quando o pessoal dizia que nunca mais iria usar Bhaskara?

Não podiam estar mais errados.

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

λ = - b ± Δ 2 a

Onde:

Δ = b 2 - 4 a c

λ = 35 ± - 35 2 - 4 ∙ 1 ∙ 38 2

λ = 35 ± 1225 - 152 2

λ = 35 ± 1073 2

Temos:

λ 1 = 35 + 1073 2

λ 2 = 35 - 1073 2

Passo 5

Agora é a vez dos autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y z

Logo:

A - λ I ∙ x y z = 0

Como já temos A - λ I :

λ - 21 - 16 - 16 λ - 14 ∙ x y = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v . Molezinha, não!?

Passo 6

Determinando os autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y

Logo:

A - λ I ∙ x y = 0

Como já temos A - λ I :

λ - 21 - 16 - 16 λ - 14 ∙ x y = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v .

Passo 7

Para λ 1 = 35 + 1073 2 :

35 + 1073 2 - 21 - 16 - 16 35 + 1073 2 - 14 ∙ x y = 0

35 + 1073 2 - 42 2 - 16 - 16 35 + 1073 2 - 28 2 ∙ x y = 0

- 7 + 1073 2 - 16 - 16 7 + 1073 2 ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- 7 + 1073 2 x - 16 y = 0 - 16 x - 7 + 1073 2 y = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a segunda:

- 16 x - 7 + 1073 2 y = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o y :

16 x = - 7 + 1073 2 y

x = - 7 + 1073 32 y

Temos:

y = y

Escrevendo:

v = x y

v 1 = x y

Colocando y em evidência, temos:

v 1 = y ∙ - 7 + 1073 32 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = - 7 + 1073 32

Passo 8

Para λ 2 = 35 - 1073 2 :

35 - 1073 2 - 21 - 16 - 16 35 - 1073 2 - 14 ∙ x y = 0

35 - 1073 2 - 42 2 - 16 - 16 35 - 1073 2 - 28 2 ∙ x y = 0

- 7 - 1073 2 - 16 - 16 7 - 1073 2 ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- 7 - 1073 2 x - 16 y = 0 - 16 x - 7 - 1073 2 y = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a segunda:

- 16 x - 7 - 1073 2 y = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o y :

16 x = - 7 - 1073 2 y

x = - 7 - 1073 32 y

Temos:

y = y

Escrevendo:

v = x y

v 2 = - 7 - 1073 32 y 1

Colocando y em evidência, temos:

v 2 = y ∙ - 7 - 1073 32 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 2 = - 7 - 1073 32 1

Passo 9

Agora vamos normalizar os autovetores:

u 1 = v 2 v 2

u 1 = 1 - 7 + 1073 32 2 + 1 2 ∙ - 7 + 1073 32

u 1 = 1 49 - 14 1073 + 1073 1024 + 1 ∙ - 7 + 1073 32 1

u 1 = 1 2 561 - 7 1073 2 ∙ 512 + 1 ∙ - 7 + 1073 32 1

u 1 = 1 561 - 7 1073 512 + 1 ∙ - 7 + 1073 32 1

u 1 = 1 561 - 7 1073 512 + 512 512 ∙ - 7 + 1073 32 1

u 1 = 1 1073 - 7 1073 512 ∙ - 7 + 1073 32

u 1 = 1 1073 - 7 1073 512 ∙ - 7 + 1073 32 1

u 1 = 1 1073 - 7 1073 16 2 ∙ - 7 + 1073 32 1

Podemos reescrever 1 1073 - 7 1073 16 2 , como: 16 2 1073 - 7 1073 .

Temos:

u 1 = 16 2 1073 - 7 1073 ∙ - 7 + 1073 32 1

u 1 = 16 2 - 7 + 1073 32 1073 - 7 1073 16 2 1073 - 7 1073

u 1 = 2 - 7 + 1073 2 1073 - 7 1073 16 2 1073 - 7 1073

Reescrevendo:

u 1 = 2 1 2 - 7 + 1073 2 1073 - 7 1073 16 2 1073 - 7 1073

u 1 = - 7 + 1073 2 1073 - 7 1073 16 2 1073 - 7 1073

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 - 7 - 1073 32 2 + 1 2 ∙ - 7 - 1073 32 1

u 2 = 1 49 + 14 1073 + 1073 1024 + 1 ∙ - 7 - 1073 32 1

u 2 = 1 2 561 + 7 1073 2 ∙ 512 + 1 ∙ - 7 - 1073 32 1

u 2 = 1 561 + 7 1073 512 + 1 ∙ - 7 - 1073 32 1

u 2 = 1 561 + 7 1073 512 + 512 512 ∙ - 7 - 1073 32 1

u 2 = 1 1073 + 7 1073 512 ∙ - 7 - 1073 32 1

u 2 = 1 1073 + 7 1073 512 ∙ - 7 - 1073 32 1

u 2 = 1 1073 + 7 1073 16 2 ∙ - 7 - 1073 32 1

Podemos reescrever 1 1073 + 7 1073 16 2 , como: 16 2 1073 + 7 1073 .

Temos:

u 2 = 16 2 1073 + 7 1073 ∙ - 7 - 1073 32 1

u 2 = 16 2 - 7 - 1073 32 1073 + 7 1073 16 2 1073 + 7 1073

u 2 = 2 - 7 - 1073 2 1073 + 7 1073 16 2 1073 + 7 1073

Reescrevendo:

u 2 = 2 1 2 - 7 - 1073 2 1073 + 7 1073 16 2 1073 + 7 1073

u 2 = - 7 - 1073 2 1073 + 7 1073 16 2 1073 + 7 1073

Passo 10

Agora vamos ver se os vetores são ortonomais, para isso o produto interno de um vetor com ele mesmo tem que ser igual a 1 :

Bora lá fazer??

Para u 1 :

- 7 + 1073 2 1073 - 7 1073 , 16 2 1073 - 7 1073   - 7 + 1073 2 1073 - 7 1073 , 16 2 1073 - 7 1073  

= - 7 + 1073 2 1073 - 7 1073 ∙ - 7 + 1073 2 1073 - 7 1073 + 16 2 1073 - 7 1073 ∙   16 2 1073 - 7 1073

= - 7 + 1073 2 2 1073 - 7 1073 2 + 16 2 2 1073 - 7 1073 2

= 1122 - 14 1073     2 1073 - 7 1073 + 512 1073 - 7 1073

= 561 - 7 1073     1073 - 7 1073 + 512 1073 - 7 1073

= 1073 - 7 1073     1073 - 7 1073

= 1

Para u 2 :

- 7 - 1073 2 1073 + 7 1073 , 16 2 1073 + 7 1073   - 7 - 1073 2 1073 + 7 1073 , 16 2 1073 + 7 1073  

= - 7 - 1073 2 1073 + 7 1073 ∙ - 7 - 1073 2 1073 + 7 1073 + 16 2 1073 + 7 1073 ∙   16 2 1073 + 7 1073

= - 7 - 1073 2 2 1073 + 7 1073 2 + 16 2 2 1073 + 7 1073 2

= 1122 + 14 1073     2 1073 + 7 1073 + 512 1073 + 7 1073

= 561 + 7 1073     1073 + 7 1073 + 512 1073 + 7 1073

= 1073 + 7 1073     1073 + 7 1073

= 1

Resposta

Como o produto interno entre os próprios autovetores resultaram em 1 , então A T A tem um conjunto ortonormal de n autovetores.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz 2x2. Dizemos que uma reta pela origem de R 2 é invariante por A se Ax estiver nessa reta sempre que x estiver. Em cada parte, obtenha as equações de todas as retas de R 2 que são inv
Em cada parte, encontre os autovalores por inspeção. - 1 / 3 0 0 - 1 / 3 0 0 0 0 00 00 1 0 0 1 / 2
Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 6.
Em cada parte, encontre os autovalores por inspeção. 3 0 0 - 2 7 0 4 8 1
Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. 5 0 1 1 1 0 - 7 1 0