Enunciado

Encontre, se houver, todos os pontos críticos de f e classifique-os como máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela.

f x , y =   x 3 - 3 x y + y 3

Passo 1

Essa questão é mamão com açúcar! Pega na minha mão que eu te mostro o caminho! Primeiro de tudo precisamos calcular as primeiras derivadas parciais da função f . Vamos denotar a primeira derivada parcial de f em relação a x como f x e a primeira derivada parcial de f em relação a y como f y . Logo:

f x = 3 x 2 - 3 y

f y = - 3 x + 3 y 2

Agora vamos igualar ambas as equações à zero!

f x = 3 x 2 - 3 y = 0

Então,

x 2 = y   ( 1 )

E também,

f y = - 3 x + 3 y 2 = 0

Então,

x = y 2   ( 2 )

Substituindo (1) em (2), temos que quando x = 0 → y = 0 e quando x = 1 → y = 1 . Portanto, existem pontos críticos para essa função e eles são 0,0 e 1,1 .

Passo 2

Bom pra matar essa questão precisamos de outra coisa: calcular os autovalores das matrizes hessianas. Meu Deus... Oq é isso??? Vem comigo! A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função f . Olha aí embaixo!

H = f x x f x y f y x f y y

Portanto, a matriz Hessiana é:

H = 6 x - 3 y 3 x 2 - 3 3 y 2 - 3 6 y - 3 x

Portanto, a matriz hessiana para o ponto crítico 0,0 é:

H 1 = 0 3 - 3 0

E para o ponto crítico ( 1,1 ) :

H 2 = 3 0 0 3

Passo 3

Para encontrarmos os autovalores, precisamos do polinômio característico para ambas as matrizes hessianas. Para H 1 :

det ⁡ λ I - H 1 = 0

d e t λ 0 0 λ - 0 3 - 3 0 =   d e t λ - 3 3 λ = λ 2 - 9 = 0

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ 2 - 9 = 0

Portanto, os autovalores da primeira matriz hessiana são:

λ 1 = 3

λ 2 = - 3

Como um autovalor é positivo e o outro autovalor é negativo, temos que o ponto crítico ( 0,0 ) é um ponto de sela! A primeira foi galera, vamos pra próxima matriz hessiana!

Passo 4

Para H 2 :

det ⁡ λ I - H 2 = 0

d e t λ 0 0 λ - 3 0 0 3 =   d e t λ - 3 0 0 λ - 3 = ( λ - 3 ) 2 = 0

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ - 3 2 = 0

Portanto, os autovalores da segunda matriz hessiana são:

λ 1 = 3

λ 2 = 3

Como ambos os autovalores são positivos temos que o ponto crítico ( 1,1 ) é um máximo relativo! Finalizamos a questão pessoal!

Resposta

O ponto crítico ( 1,1 ) é um máximo relativo e o ponto crítico ( 0,0 ) é um ponto de sela.

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