Enunciado

Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 2 para uma rotação de 90 ° seguida de uma reflexão na reta y =   x .

Passo 1

Primeiro devemos ter em mente a matriz de rotação R θ apresentada no livro, que é dada por:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Assim:

R 90 ° x → = cos  ⁡ 90   ° - sen ⁡ 90   ° sen ⁡ 90   ° cos ⁡ 90   ° = 0 - 1 1 0

Passo 2

Agora vamos usar a matriz de reflexão da reta y = x que é dada por:

T x , y → y , x = 0 1 1 0

Fazendo o produto interno das matrizes R 90 ° x → e T x , y → y , x temos:

R 90 ° x → ⋅ T x , y → y , x = 0 - 1 1 0 ⋅ 0 1 1 0 =   1 0 0 - 1

Resposta

1 0 0 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se a multiplicação por A gira um vetor x → do plano x y por um ângulo θ , qual é o efeito de multiplicar x → por A T ? Explique seu raciocínio.
Seja x 0 um vetor coluna não nulo em R 2 e suponha que T : R 2 → R 2 seja a transformação definida pela fórmula T x = x 0 + R θ x , em que R θ é a matriz canônica da rotação de R 2 em torno da origem
Nos Exercício, considere os operadores matriciais T A ∘T B das matrizes dadas. Encontre a matriz canônica de T A ∘T B . A = 6 3 - 1 2 0 1 4 - 3 6 B = 4 0 4 - 1 5 2 2 - 3 8
Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 3 para uma projeção ortogonal sobre o plano x y , seguida de uma reflexão no plano y z .
Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 3 para uma reflexão no plano y z , seguida de uma projeção ortogonal sobre o plano x z .