Enunciado

Sejam S e T operadores lineares de R 2 definidos por S x , y = ( x - 2 y ,   y ) e T x , y = ( 2 x , - y ) . Determinar:

a) S + T .

b) T - S .

c) 2 S + 4 T .

d) S ∘ T .

e) T ∘ S .

f) S ∘ S .

Passo 1

A questão fornece duas transformações lineares S e T e pede para encontrarmos combinações e composições dessas transformações.

Por exemplo, no item (a), basta fazer:

S + T x , y = S x , y + T x , y = x - 2 y , y + ( 2 x , - y )

Logo,

S + T x , y = ( 3 x - 2 y , 0 )

Passo 2

(b)

Analogamente,

T - S x , y = T x , y - S x , y = 2 x , - y - ( x - 2 y , y )

Portanto,

T - S x , y = ( x + 2 y , - 2 y )

Passo 3

(c)

Da mesma forma,

2 S + 4 T x , y = 2 S x , y + 4 T x , y = 2 x - 4 y , 2 y + ( 8 x , - 4 y )

Logo,

2 S + 4 T x , y = ( 10 x - 4 y , - 2 y )

Passo 4

(d)

S ∘ T x , y = S T x , y = S 2 x , - y = ( 2 x - 2 - y , - y )

Portanto,

S ∘ T x , y = ( 2 x + 2 y , - y )

Passo 5

(e)

Analogamente,

T ∘ S x , y = T S x , y = T x - 2 y , y = ( 2 x - 2 y , - y )

Logo,

T ∘ S x , y = ( 2 x - 4 y , - y )

Passo 6

(f)

Por fim,

S ∘ S x , y = S S x , y = S x - 2 y , y = ( x - 2 y - 2 y , y )

Portanto,

S ∘ S x , y = ( x - 4 y , y )

Resposta

a) S + T x , y = ( 3 x - 2 y , 0 )

b) T - S x , y = ( x + 2 y , - 2 y )

c) 2 S + 4 T x , y = ( 10 x - 4 y , - 2 y )

d) S ∘ T x , y = ( 2 x + 2 y , - y )

e) T ∘ S x , y = ( 2 x - 4 y , - y )

f) S ∘ S x , y = ( x - 4 y , y )

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