Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição x² + y² = 1 e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.

5 x ² - y ²

Passo 1

Podemos escrever essa equação de outra forma: a notação matricial. Se você não está lembrando o que é, vou te refrescar, é essa forma aí embaixo:

x T A x

Foca no A, pois ela é a matriz que vai nos fazer matar essa questão, bom, temos que x é:

x = x 1 x 2

E como temos 5 x ² - y ² , vamos escrever A assim ó:

A = 5 0 0 - 1  

Sacou o padrão? O 5 vem do x ² e o - 1 vem do y ²

Mas como que eu sei que a matriz A é escrita dessa forma??? Vem comigo que eu te explico!

Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de x 2 e de y 2 , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Isso quer dizer que a 11 = 5 e a 22 = - 1 .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto x y , ou seja, 0 porque nem tem x y na nossa equação.

Passo 2

Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

d e t   λ I - A = 0  

Mas até parece que vamos calcular isso na mão, temos uma matriz diagonal, nesse caso os autovalores são os próprios termos da diagonal (ouvi um amém?).

Então, nesse caso:

λ 1 = 5

λ 2 =   - 1

Vale ressaltar que o primeiro autovalor sempre é o maior! Ou seja, é 5 porque ele é o maior no nosso caso.

Passo 3

Pronto, temos os autovalores, agora bora pro próximo passo. Quando a matriz é diagonal o autovetor associado ao primeiro autovalor, no nosso caso a λ 1 = 5 , é igual a:

1 0 E o autovetor associado ao segundo autovalor que, no nosso caso, é λ 2 =   - 1 ,   é igual a:

0 1

Passo 4

No teorema dos extremos condicionados temos que:

Pronto! Daí podemos concluir que nosso máximo condicionado é 5 (que é o nosso primeiro autovetor, ou seja, nosso λ 1 e vamos tê-lo quando ( x ,   y )   =   ( ± 1 ,   0 ) , cujo módulo é autovetor do λ 1 , vale lembrar que colocamos esse ± porque eles são vetores unitários!E o nosso mínimo condicionado é -1 e ocorre quando ( x , y )   =   ( 0 ,   ± 1 ) .

Resposta

Parabéns, questão derrotada com sucesso!

Máximo condicionado é 5 e ocorre quando ( x ,   y )   =   ( ± 1 ,   0 ) , Mínimo condicionado é - 1 e ocorre quando ( x , y )   =   ( 0 ,   ± 1 ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Classifique a forma quadrática como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva. - x 1 2 - 3 x 2 2
Classifique a forma quadrática como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva. ( x 1 - x 2 ) 2
Encontre uma matriz 3×3 simétrica cujos autovalores sejam λ 1 =- 1 ,λ 2 =3 ,λ 3 =7 e os autovetores associados sejam v 1 =( 0 ,1 ,- 1 ) , v 2 =1 ,0 ,0 ,v 3 =( 0 ,1 ,1 ) .Existe uma matriz 3×3 simétric
Determine, sem fazer contas, se a matriz é positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva. a )1 0 0 2 b ) - 1 0 0 - 2 c ) - 1 0 0 2 d ) 1 0 0 0 e ) 0 0 0 - 2
Classifique a forma quadrática como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva. x 1 2 - x 2 2