Enunciado

Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes n × n . Qual a dimensão deste espaço?

Passo 1

Uma matriz geral desse espaço pode ser escrita como:

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ ⋯ a 2 n ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

Podemos escrevê-la da seguinte forma:

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ ⋯ a 2 n ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n =

= a 11 1 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 + a 21 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 + … + a n n 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

Passo 2

Observe que a quantidade de vetores da base é igual ao número de elementos da matriz. Se temos n linhas e n colunas, temos:

n ∙ n = n 2   e l e m e n t o s .

Logo, a dimensão é n 2 .

Veja que eles formam uma base, pois da igualdade de matrizes, se a combinação linear for nula então todos os elementos são nulos.

Resposta

Base: 1 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ,   0 0 ⋯ 0 1 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 , … ,   0 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 .

Dimensão: n 2 .

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