Enunciado

Seja W ⊂ R 3 o subespaço gerado por ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 0 ) .

  1. Considere W ⊥ em relação ao produto interno canônico. Encontre uma base para W ⊥ .
  2. A mesma pergunta anterior se W ⊥ é considerado em relação ao produto interno < x , y , z , x ' , y ' , z ' >   = 2 x x ' + y y ' + z z ' .

Passo 1

  1. Para a gente achar os vetores ortogonais aos vetores dados, vamos ter que igualar o produto interno a zero. Em outras palavras, seja v ∈ W ⊥ , queremos que:
  2. < v , 1,0 , 1 >   = 0 < v ,   1,1 , 0 > = 0

    Que fazendo as contas, fica:

    x + z = 0 x + y = 0

    Ou seja, se a gente tem o vetor ( x , y , z ) , ele pode ser simplificado usando a equação acima:

    x , - x , - x = x ( 1 , - 1 , - 1 )

    Ai fica simples ver que a base para esse subespaço é:

    β = { ( 1 , - 1 , - 1 ) }

    Passo 2

  3. A gente vai fazer a mesma coisa do item anterior, só que agora a gente muda a conta do produto interno:

< v , 1,0 , 1 >   = 0 < v ,   1,1 , 0 > = 0

Que, usando o produto interno fornecido fica:

2 x + z = 0 2 x + y = 0

Por fim a gente simplifica o vetor v :

x , - 2 x , - 2 x = x ( 1 , - 2 , - 2 )

Que gera a base:

β = { ( 1 , - 2 , - 2 ) }

Resposta

  1. β = { ( 1 , - 1 , - 1 ) } ;
  2. β = 1 , - 2 , - 2 .
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Suponha que P 2 tenha o produto interno do E x e m p l o9 e considere p = 1 + x + x 2 e q = 1 - 2 x 2 . Em cada parte, calcule a expressão. p , q p d p , q
Repita o E x e r c í c i o5 í com o produto interno em R 2 gerado por 1 20 - 1 .
Repita o E x e r c í c i o3 í com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 4 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 .
Suponha que P 2 tenha o produto interno: p , q = ∫ - 1 1 p x q x d x Encontre p com p = 1 , p = x e p = x 2 Encontre d p , q com p = 1 e q = x .
Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) . Em cada parte, determine se a expressão é um produto interno em R 3 . Se não for, liste os axiomas que não valem. u , v = u 1 v 1 + u 3 v 3 u , v