Enunciado

Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 para a base F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,   e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1 = - 3 ,   1 ,   1 E , f → 2 = 1 ,   - 2 ,   1 E e f → 3 = 1 ,   2 ,   0 E .

Passo 1

Essa é uma questão bem clássica sobre mudança de base! O enunciado fornece duas bases: E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 . Foi dado também que

f → 1 = - 3 ,   1 ,   1 E

f → 2 = 1 ,   - 2 ,   1 E

f → 3 = 1 ,   2 ,   0 E

Um vetor u → foi dado na base F :

u → = - 4 ,   1 ,   - 1 F

O que queremos é escrever o vetor u → na base E . Para isso, usamos a equação

x 1 x 2 x 3 E = M E F   y 1 y 2 y 3 F

Para isso, temos que construir a matriz de mudança de base M E F !

Passo 2

Construir a matriz M E F é simples: as colunas serão os vetores da base F escritas em termos da base E :

M E F = - 3 1 1 1 - 2 2 1 1 0

Note que basta colocar as coordenadas dos vetores f → 1 , f → 2 e f → 3 nas colunas da matriz!

Passo 3

Como temos u → escrito na base F , temos que

y 1 y 2 y 3 F = - 4 1 - 1 F

Assim,

x 1 x 2 x 3 E = - 3 1 1 1 - 2 2 1 1 0 ⋅ - 4 1 - 1 F

Fazendo a multiplicação de matrizes:

x 1 x 2 x 3 E = 12 - 8 - 3 E

Portanto,

u → = 1 2 ,   - 8 ,   - 3 E

Ou ainda,

u → = 1 2 e → 1 - 8 e → 2 - 3 e → 3

Resposta

u → = 1 2 e → 1 - 8 e → 2 - 3 e → 3

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