Enunciado

Escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:

A 2,1 , 0 ,     B - 4 , - 2 , - 1   e   C ( 0,0 , 1 )

Passo 1

E aí tudo joia?

Olha só, a equação geral do plano é dessa forma aqui:

a x + b y + c z + d = 0

Onde ( a , b , c ) é um vetor normal ao plano, beleza?

Com os pontos que a gente tem, vamos calcular vetores diretores (paralelos) ao plano primeiro...

Passo 2

Calculando os vetores, temos:

A B → = ( - 6 ,   - 3 ,   - 1 )

A C → = ( - 2 , - 1,1 )

(é sempre bom a gente tomar o mesmo ponto como “partida”, no caso tomei o A)

Esses dois vetores são paralelos ao plano procurado. Pra encontrarmos um vetor normal, vamos fazer o produto vetorial entre eles! Bora lá!

Passo 3

Montando o produto vetorial, temos:

d e t i → j → k → - 6 - 3 - 1 - 2 - 1 1 =   i → - 3 - 1 - 1 1 - j →   - 6 - 1 - 2 1 + k →   - 6 - 3 - 2 - 1

= i →   - 3 - 1 -   j →   - 6 - 2 +   k → ( 6 - 6 )

= - 4 i → + 8 j → + 0 k →

Podemos simplificar como:

=   i → - 2 j → + 0 k →

Temos um vetor normal então que é:

( 1 , - 2,0 )

Podemos escrever nosso plano então como:

x - 2 y + d = 0

Passo 4

Agora pra a gente achar esse d , é só substituir um dos pontos que nos deram! Vou pegar o ponto A 2,1 , 0 :

2 - 2 1 + d = 0

d = 0

Nosso plano então é:

x - 2 y + 0 = 0

x - 2 y = 0

Prontinho! Acabamos por aqui😉

Resposta

x - 2 y = 0

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