Enunciado

Mostre que I 2 - A I 2 + A - 1 é uma matriz ortogonal, onde A = 0 5 - 5 0 .

Passo 1

Vamos lá! Mostrar que uma matriz X é ortogonal significa mostrar que X t = X - 1 . Basta mostrarmos isto.

Mas... Para podermos verificar isto, precisamos primeiro saber quem é esta matriz X . E quando sabemos que X = I 2 - A I 2 + A - 1 ..... pois é, temos um pequeno trabalho para calcular este X antes de tudo.

Mas, se nós fizermos devagar. Uma conta por cada vez, vamos conseguir resolver a questão tranquilamente!

Passo 2

Então, antes de começarmos as contas, vamos só relembrar que I 2 é a matriz identidade de ordem 2. Isto é:

I 2 = 1 0 0 1

Agora sim. Vamos para as nossas contas!

X = I 2 - A I 2 + A - 1

1 0 0 1 - 0 5 - 5 0 1 0 0 1 + 0 5 - 5 0 - 1

1 - 5 5 1 1 5 - 5 1 - 1

Vamos calcular a inversa de 1 5 - 5 1 . Ela será:

1 5 - 5 1 - 1 = 1 det ⁡ 1 5 - 5 1 1 - 5 5 1 = 1 26 1 - 5 5 1 = 1 26 - 5 26 5 26 1 26

Então, substituindo a relação acima no nosso produto, temos:

1 - 5 5 1 1 26 - 5 26 5 26 1 26 = - 24 26 - 10 26 10 26 - 24 26

Portanto, a nossa matriz X é:

X = - 24 26 - 10 26 10 26 - 24 26

Passo 3

Para finalizarmos a questão, vamos mostra que X t = X - 1 . Para isto, vamos utilizar a seguinte identidade das matrizes inversas:

X X - 1 = I

Portanto,

X X t = I

Se a matriz X realmente for ortogonal, ela satisfará a relação acima. Logo, partindo para os cálculos, temos:

- 24 26 - 10 26 10 26 - 24 26 - 24 26 10 26 - 10 26 - 24 26 = 1 0 0 1

24 2 + 10 2 26 2 - 240 + 240 26 2 - 240 + 240 26 2 10 2 + 24 2 26 2 = 1 0 0 1

676 676 0 0 676 676 = 1 0 0 1

1 0 0 1 = 1 0 0 1

Como a relação acima é uma verdade, acabamos de provar que a matriz X realmente é ortogonal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja 2 5 ,- 1 5
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: 1 0 - 1 1 1 0 - 1 1 0
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: 1 3 1 3 1 3 0 2 2 - 1 2 2 6 - 1 6 - 1 6
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: 1 3 - 1 6 - 1 2 - 1 3 1 6 - 1 2 1 3 2 6 0
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: 1 10 3 10 - 3 10 1 10