Enunciado

Especifique, de acordo com os valores de h e k , o lugar geométrico dos pontos de E ³ caracterizado pelo sistema de equações

2 x - y + z = 1 k x - y + z = h

Passo 1

Ei, pensa uma coisa comigo, as duas equações do nosso sistema, com exceção do x e do termo independente, têm os mesmos coeficientes:

2 x - 1 y + 1 z = 1 k x - 1 y + 1 z = h

Então, dependendo de k e h , elas podem nos dar um sistema impossível ou um sistema com soluções.

Vamos começar pensando caso as duas equações sejam iguais, ou seja, se k = 2 e h = 1

2 x - 1 y + 1 z = 1 2 x - 1 y + 1 z = 1

Temos um sistema com duas equações iguais, e agora??

Bom, as duas equações desse sistema são o mesmo plano, e a intersecção entre um plano e ele mesmo, é... o próprio plano, certo? Hahahaha

Então, se k = 2 e h = 1 , nosso lugar geométrico é um plano!

Passo 2

Agora vamos pensar se k = 2 e h ≠ 1 , assim:

2 x - 1 y + 1 z = 1 2 x - 1 y + 1 z = h

Temos dois planos com o mesmo vetor normal ( 2 ,   - 1 ,   1 ) , mas o termo independente ( d ) deles é diferente. Então, os dois planos são paralelos, mas não coincidentes.

Logo, não há intersecção entre eles. Se k = 2 e h ≠ 1 , nosso lugar geométrico é o vazio.

Passo 3

Enfim, para k ≠ 2 e h ∈ R , temos

2 x - 1 y + 1 z = 1 k x - 1 y + 1 z = h

Essa é a intersecção entre dois planos não paralelos, ou seja, transversais. No caso, sabemos que essa intersecção forma uma reta certo? Então, se k ≠ 2 e h ∈ R , o nosso lugar geométrico é uma reta!! :)

Resposta

Se k = 2 e h = 1 , nosso lugar geométrico é um plano.

Se k = 2 e h ≠ 1 , nosso lugar geométrico é o vazio.

Se k ≠ 2 e h ∈ R , o nosso lugar geométrico é uma reta.

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