Enunciado

Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 3,1 , 4 ) e contenha a linha de interseção entre os planos x + 2 y + 3 z = 1 e 2 x - y + z = - 3

Passo 1

Bom galera, a gente tem o ponto:

O = ( 3,1 , 4 )

E para encontrar a linha entre dois planos a gente usa:

L = P + t ( a → )

Ou seja, um ponto P somado com um vetor direção que se extende por t .

Então vamos encontrar P , um ponto qualquer em que os planos se encontram, pra isso a gente iguala o z das equações do plano a 0 e calcula um sistema:

x + 2 y + 0 = 1 2 x - y + 0 = - 3

Encontramos x = - 1 e y = 1 , então um ponto de interseção é:

P = ( - 1,1 , 0 )

Passo 2

Agora, pra completar na equação da linha a gente precisa do vetor direção a gente faz um produto vetorial dos coeficientes das equações do plano:

x + 2 y + 3 z = 1

2 x - y + z = - 3

O produto vetorial fica:

a → = det ⁡ i → j → k → 1 2 3 2 - 1 1

a → = ( 5,5 , - 5 )

Então, temos a nossa equação da linha:

L = - 1,1 , 0 + t ( 5,5 , - 5 )

Temos o vetor a → , o outro é bem mais simples:

b → = O - P

b → = 3,1 , 4 - - 1,1 , 0 = ( 4,0 , 4 )

Passo 3

Pois agora, a gente encontra um vetor ortogonal aos dois que a gente assim, para isso a gente pega o produto vetorial dos dois:

v → = a → × b → = det ⁡ i → j → k → 5 5 - 5 4 0 4

v → = 20 i → - 40 j → - 20 k →

Passo 4

Beleza, e a equação do plano por definição é:

v → x x - x o + v → y y - y o + v → z z - z o = 0

Se você quiser saber mais sobre essa fórmula e como ela funciona dá uma olhada nas vídeo aulas aqui mesmo do Responde Aí!

Passo 5

Show de bola, agora que a gente só aplica o que a gente tem na equação:

v → x x - x O + v → y y - y O + v → z z - z O = 0

20 x - ( 3 ) + - 40 y - 1 + - 20 z - ( 4 ) = 0

→ 20 x - 60 + - 40 y + 40 + ( - 20 z + 80 ) = 0

→ 20 x - 40 y - 20 z + 60 = 0

→ 20 x - 40 y - 20 z = - 60

Divide tudo por 20 :

20 x - 40 y - 20 z = - 60

→ x - 2 y - z = - 3

Resposta

x - 2 y - z = - 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada. 2 , - 2 e x + 3 y = 1
Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja paralelo aos vetores u → e v → dados. 0,1 , 2 , u → = 2 , - 1,3 e v → = 1,1 , 1
Determine um vetor cuja direção seja perpendicular à reta dada. 3 x - y = 3
Sejam u → = a 1 , b 1 , c 1 e v → = a 2 , b 2 , c 2 dois vetores R 3 . Definimos o produto vetorial de u → por v → , que se indica u → × v → , por u → × v → = i → j → k → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = b 1
Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à direção do vetor n → dado. 1,1 , 1 e n → = 2,1 , 3