Enunciado

Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .

e) r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   4 ,   1                               π : X = 1 ,   - 1 ,   1 + λ 0 ,   1 ,   2 + μ ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Passo 1

O vetor diretor de r é ( 0 ,   1 ,   1 ) e os vetores diretores do plano são ( 0 ,   1 ,   2 ) e ( 1 ,   - 1 ,   0 ) . Vamos calcular o determinante dessa tripla de vetores:

0 1 1 0 1 2 1 - 1 0 = 1

Como o determinante é diferente de 0, os 3 vetores são LI, logo, a reta é transversal ao plano :)

Passo 2

Um ponto genérico de r é P = ( λ ,   4 λ ,   λ ) . Vamos igualar à equação do plano para encontrar o ponto de intersecção:

( λ ,   4 λ ,   λ ) = 1 ,   - 1 ,   1 + α 0 ,   1 ,   2 + μ ( 1 ,   - 1 ,   0 )

λ ,   4 λ ,   λ = 1 + μ ,   - 1 + α - μ ,   1 + 2 α

Igualando as coordenadas:

1 + μ = λ - 1 + α - μ = 4 λ 1 + 2 α = λ

Vamos só deixar tudo organizadinho hehe

μ - λ = - 1 α - μ - 4 λ = 1 2 α - λ = - 1

Resolvendo esse sistema, encontramos

α = - 5 9

μ = - 10 9

λ = - 1 9

Então, vamos substituir λ no ponto genérico de r para encontrarmos o ponto que queremos:

P = - 1 9 , - 4 9   ,   - 1 9

Resposta

e) Transversais

P = - 1 9 , - 4 9   ,   - 1 9

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