Enunciado

Nos problemas 47 e 48, determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:

π 1 : 2 x - y - 3 z - 5 = 0           π 2 : x + y - z - 3 = 0

Passo 1

Nesse caso, nós temos as equações paramétricas, e não as equações reduzidas. A primeria coisa que faremos é montar um sisteminha de equações :

2 x - y - 3 z - 5 = 0 x + y - z - 3 = 0

Uma forma de reduzir os termos desse sitema, e deixar tudo em função de um dos termos (no caso, escolheremos x ). Vamos começar eliminando y , para fazer isso, somamos as equações:

2 x - y - 3 z - 5 + x + y - z - 3 = 0

3 x - 4 z - 8 = 0

3 x - 8 = 4 z

3 x 4 - 2 = z

Dessa forma, conseguimos escrever z em função de x , o próximo passo é escrever y em função de x .

Passo 2

Para escrever y em função de x devemos eliminar a incógnita z do sistema, podemos fazer isso multiplicando a equação de baixo por - 3 :

2 x - y - 3 z - 5 = 0 x + y - z - 3 = 0

Multiplicando por - 3 , teremos:

2 x - y - 3 z - 5 = 0 - 3 x - 3 y + 3 z + 9 = 0

Somando as duas equações, teremos:

2 x - y - 3 z - 5 + - 3 x - 3 y + 3 z + 9 = 0

x - 4 y + 4 = 0

- x + 4 + 4 y

y = 1 - x 4

Passo 3

Veja bem, já encontramos as equações em termos de x , temos que mudar o parâmetro para x , e arbitrariamente chamaremos x = t e por consequência o nosso sistema de solução será dado por:

x = t y = - t 4 + 1 z = 3 t 4 - 2

Basicamente a nossa solução é essa, mas como tanto na equação y quanto z tem a função t divida por 4, então, para simplificar vamos chamar x = 4 t para deixar a resposta sem frações:

x = 4 t y = - t + 1 z = 3 t - 2

Resposta

x = 4 t y = - t + 1 z = 3 t - 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar se a reta r está contida no plano π : r : y = 2 h + 1 z = 2 x - 1 e π : 2 x + y - 3 z - 4 = 0
Verificar se a reta r está contida no plano π : r : x - 2 = y + 2 2 = z + 3 e π : x = h + t y = - 1 + 2 h - 3 t z = - 3 + h - t
Dados a reta r e o plano π , determine o valor de m para que se tenha r / / π e r ⊥ π , nos casos: r : x = - 3 + t y = - 1 + 2 t z = 4 t e π : m x - y - 2 z - 3 = 0
Dados a reta r e o plano π , determine o valor de m para que se tenha r / / π e r ⊥ π , nos casos: r : x . y . z = 1,2 , 0 + t 2 , m , - 1 e π : 3 x + 2 y + m z = 0
Estabelecer equação reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos: π 1 : 3 x - 2 y - z - 1 = 0 e π 2 : x + 2 y - z - 7 = 0