Enunciado

Estude, segundo os valores de m e n , a posição relativa das retas r e s . Obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas.

r : X = 1 ,   m ,   0 + λ 1 ,   2 ,   1                                     s :   x = z - 2 y = n z - 1

Passo 1

Nosso primeiro passo vai ser encontrar a equação da reta s ta bom?

Vamos lá:

s :   x = z - 2 y = n z - 1

Já temos x e y em função de z , então a reta é dada por

x ,   y ,   z = ( z - 2 ,   n z - 1 ,   z )

x ,   y ,   z = - 2 ,   - 1 ,   0 + λ ( 1 ,   n ,   1 )

Passo 2

Retas paralelas

Vamos ver quando as retas vão ser paralelas, isso vai acontecer quando seus vetores diretores forem múltiplos:

1 ,   n ,   1 = α ( 1 ,   2 ,   1 )

1 ,   n ,   1 = ( α ,   2 α ,   α )

Igualando as coordenadas:

α = 1 2 α = n α = 1

Da primeira e da terceira equações, temos α = 1 , substituindo na segunda:

2.1 = n

n = 2

Então, quando n = 2 , as retas serão paralelas.

Agora precisamos analisar os valores de m para saber quando elas vão ser paralelas coincidentes ou distintas.

Passo 3

Paralelas coincidentes ou distintas?

As retas vão ser paralelas coincidentes quando o ponto A = ( 1 ,   m ,   0 ) de r pertencer à reta s :

1 ,   m ,   0 = - 2 ,   - 1 ,   0 + λ ( 1 ,   n ,   1 )

Como sabemos que para as retas serem paralelas, temos que ter n = 2 :

1 ,   m ,   0 = - 2 ,   - 1 ,   0 + λ ( 1 ,   2 ,   1 )

1 ,   m ,   0 = ( - 2 + λ ,   - 1 + 2 λ ,   λ )

Igualando as coordenadas:

- 2 + λ = 1 - 1 + 2 λ = m λ = 0

Da terceira equação, temos que λ = 0 , mas na primeira temos que λ = 3 .

Opa, como encontramos valores diferentes de λ , esse sistema não é possível e portanto, o ponto ( 1 ,   m ,   0 ) de r nunca vai pertencer a s , logo, as retas nunca vão ser paralelas coincidentes.

Para n = 2 e qualquer valor de m , as retas serão paralelas distintas.

Passo 4

Encontrando o plano

Vamos encontrar o plano formado pelas retas paralelas distintas, ou seja, quando n = 2 e para qualquer valor de m .

O vetor normal desse plano, vai ser o produto vetorial do vetor diretor das retas (que é o mesmo, já que são paralelas) e de um vetor que ligue dois pontos delas.

Seja o ponto P = ( 1 ,   m ,   0 ) de r e Q = ( - 2 ,   - 1 ,   0 ) de s , temos P Q → = ( - 3 ,   - 1 - m ,   0 ) , então o vetor normal do plano é

1 ,   2 ,   1 ∧ - 3 ,   - 1 - m ,   0 = ( m + 1 ,   - 3 ,   - m + 5 )

Então a equação do plano é escrita assim:

m + 1 x - 3 y + - m + 5 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto Q na equação:

m + 1 ( - 2 ) - 3 ( - 1 ) + - m + 5 0 + d = 0

d = 2 m - 1

Então:

m + 1 x - 3 y + - m + 5 z + ( 2 m - 1 ) = 0

Passo 5

Retas reversas ou concorrentes?

Vimos que para n = 2 as retas são paralelas, então, para n ≠ 2 , os seus vetores diretores serão LI e as retas serão reversas ou concorrentes ok?

Para saber se eles são reversas ou concorrentes, há infinitas possibilidades, dependendo do valor de m e de n :)

Resposta

Para n = 2 e qualquer valor de m , as retas serão paralelas distintas.

O plano formado por elas é m + 1 x - 3 y + - m + 5 z + ( 2 m - 1 ) = 0

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Na reta y = 2 x + 3 z = x - 1 determinar o ponto de:Ordenada igual a 9 ;
Determinar o ponto da reta r : x - 1 2 = y + 3 - 1 = z 4 que possui:a) Abscissa 5 .
Obter o ponto de abscissa 1 da reta r : 2 x + 1 3 = 3 y - 2 2 = z + 4 e encontrar um vetor diretor de r que tenha ordenada 2 .
Verificar se os pontos P 1 ( 5 , - 5,6 ) e P 2 ( 4 , - 1,12 ) pertencem à reta r : x - 3 - 1 = y + 1 2 = z - 2 - 2
Obter equações reduzidas na variável x , da reta:Que passa por A ( 4 , 0 , - 3 ) e tem a direção de v → ( 2,4 , 5 )