Enunciado

42. Use a parte (b) do Exercício 41 para provar as afirmações.

(a) Se A for hermitiana, então det ⁡ A será real.

(b) Se A for unitária, então det ⁡ A = 1 .

Passo 1

(a) Para A ser hermitiana, então:

A = A *

Então:

det ⁡ A = det ⁡ A *

E da parte (b) do exercício 41 temos:

det ⁡ A * = det ⁡ A ¯

Então:

det ⁡ A = det ⁡ A ¯

E isso só pode acontecer se det ⁡ ( A ) for real. Como queríamos demonstrar.

Passo 2

(b) Para A ser unitária:

A - 1 = A *

Então vamos lembrar quer:

A - 1 A = I

Então:

A * A = I

Aplicando determinante:

det ⁡ A * A = det ⁡ I

det ⁡ A * det ⁡ A = det ⁡ I

E da parte (b) do exercício 41 temos:

det ⁡ A * = det ⁡ A ¯

Então:

det ⁡ A ¯ det ⁡ A = det ⁡ I

Lembrando que det ⁡ I = 1 ...

det ⁡ A ¯ det ⁡ A = 1

Agora pensa comigo: se det ⁡ A ¯ tiver algum i , vai ter um sinal de menos na frente, ne...

Então vamos escrever:

det ⁡ A ¯ = - i det ⁡ B

E precisa ter algum i também em det ⁡ ( A ) , ne... pra ficar 1 do outro lado, então escrevemos:

det ⁡ A = i det ⁡ B

Então:

- i det ⁡ B i det ⁡ B = 1

det ⁡ B 2 = 1

Então:

det ⁡ B = 1

Portante:

det ⁡ A = 1

Resposta

(a)   det ⁡ ( A ) será real

(b) det ⁡ A = 1

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