Enunciado

No exercício 8, verifique que P é uma matriz estocástica regular e encontre o vetor de estado estacionário da cadeia de Markov associada.

P = 1 / 3 1 / 4 2 / 5 0 3 / 4 2 / 5 2 / 3 0 1 / 5

Passo 1

Primeiramente, devemos verificar se a matriz é estocástica, e podemos utilizar a mesma abordagem que aprendemos no exercício anterior,

Como todas as entradas são positivas e as somas dos elementos dos vetores coluna da matriz é igual a 1, a matriz P é uma matriz estocástica.

Passo 2

Agora, para sabermos se ela será regular, se P ou alguma potência positiva de P tiver todas as entradas positivas e não nulas, nesse caso,

P 2 = 0,37 78 0 , 2708 0 , 3133 0 , 2667 0 , 5625 0 , 3800 0 , 3556 0 , 1667 0 , 3067

Fazendo a potência de 2 em P, verifica-se que a matriz é estocástica regular.

Passo 3

Para encontramos o vetor de estado estacionário de uma matriz P qualquer, precisamos encontrar um vetor q eu respeite a seguinte equação,

I - P q = 0

Sendo assim, substituindo os valores temos,

      2 / 3 - 1 / 4 - 2 / 5 0       1 / 4 - 2 / 5 - 2 / 3 0       4 / 5 q 1 q 2 q 3 = 0 0 0

Escrevendo a matriz na forma de sistemas de equações,

2 3 q 1 - 1 4 q 2 - 2 5 q 3 = 0 1 4 q 2 - 2 5 q 3 = 0 - 2 3 q 1 + 4 5 q 3 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos que

q 1 = s ;       q 3 = 5 6 s ;       q 2 = 4 3 s

Passo 4

Para q ser um vetor probabilidade, precisamos ter

1 = q 1 + q 2 + q 3 = s + 4 3 s   +   5 6 s =   19 6 s

∴         s =   6 19

Resposta

Com isso, encontramos o vetor de estado estacionário,

q = q 1 q 2 q 3 = 6 / 19 8 / 19 5 / 19

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Determine se T 1∘ T 2 =T 2 ∘T 1 . T 1:R 2→R 2 é a rotação por um ângulo θ 1 e T 1:R 2→R 2 é a rotação por um ângulo θ 2
Determine se T 1∘ T 2 =T 2 ∘T 1 . T 1:R 3→R 3 é a dilatação de fator k e T 1:R 3→R 3 é arotação em torno do eixo z por um ângulo θ .
Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 3 para uma rotação de 45 ° em torno do eixo y , seguida de uma dilatação de fator k = 2 .
Determine se T 1∘ T 2 =T 2 ∘T 1 . T 1:R 2→R 2 é a projeção ortogonal sobre o eixo x e T 2:R 2→R 2 é a projeção ortogonal sobre o eixoy .
Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 2 para uma dilatação de fator k =2 , seguida de uma rotação de 45 ° , seguida de uma reflexão no eixo y .