Enunciado

Nos Exercícios 12-15, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P .

A = - 14 12 - 20 17

Passo 1

A = - 14 12 - 20 17

Primeiro vamos calcular os autovalores da matriz:

det ⁡ λ I - A = 0

λ + 14 - 12 20 λ - 17 = 0

λ + 14 λ - 17 - 20 ⋅ - 12 = 0

λ 2 - 3 λ + 2 = 0

λ - 1 λ - 2 = 0

Os autovalores são:

λ 1 = 1

λ 2 = 2

Passo 2

Vamos calcular os autovalores:

λ + 14 - 12 20 λ - 17 x 1 x 2 = 0

Para λ 1 = 1

1 + 14 - 12 20 1 - 17 x 1 x 2 = 0

15 - 12 20 - 16 x 1 x 2 = 0

Por Eliminação Gaussiana, podemos dividir a primeira linha por 3 e a segunda linha por 4 :

5 - 4 5 - 4 x 1 x 2 = 0

x 2 = t x 1 = 0,8 t

O autovetor associado é:

λ 1 = 2 ⇒ x → 1 = t 0,8 1

E a base do autovetor é

p → 1 = 0,8 1

Passo 3

Para λ 2 = 2

2 + 14 - 12 20 2 - 17 x 1 x 2 = 0

16 - 12 20 - 15 x 1 x 2 = 0

Por Eliminação Gaussiana, podemos dividir a primeira linha por 4 e a segunda linha por 5 :

4 - 3 4 - 3 x 1 x 2 = 0

x 2 = t x 1 = 3 4 t

O autovetor associado é:

λ 2 = 2 ⇒ x → 2 = t 0,75 1

E a base do autovetor é

p → 2 = 0,75 1

Passo 4

Agora que temos os autovetores, podemos formar o vetor P a partir deles:

P = [ p → 1 p → 2 ]

Logo:

P = 0,8 1 0,75 1

E vamos calcular a inversa por Eliminação Gaussiana:

P - 1 = 0,8 1 0,75 1 | | 1 0 0 1

Vamos trocar a primeira e a segunda linha

P - 1 = 1 0,8 1 0,75 | | 0 1 1 0

Vamos pega a primeira linha, multiplicar por 0,8 e subtrair da segunda linha:

P - 1 = 1 0 1 - 0,05 | | 0 1 1 - 0,8

Vamos dividir a segunda linha por - 0,05

P - 1 = 1 0 1 1 | | 0 - 20 1 16

E subtraímos a primeira linha da segunda:

P - 1 = 1 0 0 1 | | 20 - 20 - 15 16

A inversa é:

P - 1 = 20 - 20 - 15 16

Passo 5

Agora vamos calcular a matriz diagonal:

P - 1 A P = 20 - 20 - 15 16 - 14 12 - 20 17 0,8 1 0,75 1

Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:

P - 1 A P = 20 ⋅ - 14 - 15 ⋅ ( - 20 ) - 20 ⋅ - 14 + 16 ⋅ ( - 20 ) 20 ⋅ 12 - 15 ⋅ 17 - 20 ⋅ 12 + 16 ⋅ 17 0,8 1 0,75 1

P - 1 A P = 20 - 40 - 15 32 0,8 1 0,75 1

E agora multiplicar a matriz resultante pela matriz P:

P - 1 A P = 20 - 40 - 15 32 0,8 1 0,75 1

A matriz diagonal resultante é:

P - 1 A P = 1 0 0 2

Resposta

P - 1 A P = 1 0 0 2

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