Enunciado

3. Prove que se A for uma matriz simétrica positiva e u e v vetores em forma de coluna, então

u , v = u T A v

É um produto interno de R n .

Passo 1

Bom... pela definição de produto interno, pra isso aí ser produto interno em R n , então tem que satisfazer quatro axiomas.

Mas antes vamos definir algumas coisa (beeeem genéricas):

u = u 1 u 2 ⋮ u n

u T = u 1 u 2 … u n  

v = v 1 v 2 ⋮ v n

v T = v 1 v 2 … v n

w = w 1 w 2 ⋮ w n

A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n

Passo 2

(1) O primeiro axioma (Axioma de simetria):

u , v = v , u

Fazendo primeiro (e fazendo aos poucos pra nao pirar):

u , v = u T A v

A v = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n v 1 v 2 ⋮ v n

A v = a 11 v 1 + a 12 v 2 + … + a 1 n v n a 21 v 1 + a 22 v 2 + … + a 2 n v n ⋮ a n 1 v 1 + a n 2 v 2 + … + a n n v n  

u T A v = u 1 u 2 … u n a 11 v 1 + a 12 v 2 + … + a 1 n v n a 21 v 1 + a 22 v 2 + … + a 2 n v n ⋮ a n 1 v 1 + a n 2 v 2 + … + a n n v n

u T A v = u 1 a 11 v 1 + a 12 v 2 + … + a 1 n v n + u 2 a 21 v 1 + a 22 v 2 + … + a 2 n v n + … + u n a n 1 v 1 + a n 2 v 2 + … + a n n v n

u , v

Passo 3

E fazendo agora:

v , u = v T A u

A u = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n u 1 u 2 ⋮ u n

A u = a 11 u 1 + a 12 u 2 + … + a 1 n u n a 21 u 1 + a 22 u 2 + … + a 2 n u n ⋮ a n 1 u 1 + a n 2 u 2 + … + a n n u n  

v T A u = v 1 v 2 … v n a 11 u 1 + a 12 u 2 + … + a 1 n u n a 21 u 1 + a 22 u 2 + … + a 2 n u n ⋮ a n 1 u 1 + a n 2 u 2 + … + a n n u n

v T A u = v 1 a 11 u 1 + a 12 u 2 + … + a 1 n u n + v 2 a 21 u 1 + a 22 u 2 + … + a 2 n u n + … + v n a n 1 u 1 + a n 2 u 2 + … + a n n u n

v , u

Passo 4

(2) O segundo axioma (Axioma de aditividade):

u + v , w = u , w + v , w

Fazendo primeiro:

u + v , w = u + v T A w

A w = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n w 1 w 2 ⋮ w n

A w = a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n ⋮ a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

u + v = u 1 + v 1 u 2 + v 2 ⋮ u n + v n

u + v T = u 1 + v 1 u 2 + v 2 … u n + v n

u + v T A w = u 1 + v 1 u 2 + v 2 … u n + v n a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n ⋮ a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

u + v T A w = u 1 + v 1 a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n + u 2 + v 2 a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n + … + u n + v n a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

u + v , w

Passo 5

E fazendo agora:

u , w + v , w = u T A w + v T A w

A w = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n w 1 w 2 ⋮ w n

A w = a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n ⋮ a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

u T A w = u 1 u 2 … u n a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n ⋮ a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

u T A w = u 1 a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n + u 2 a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n + … + u n a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

v T A w = v 1 v 2 … v n a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n ⋮ a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

v T A w = v 1 a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n + v 2 a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n + … + v n a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

u T A w + v T A w = u 1 a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n + u 2 a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n + … + u n a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n + v 1 a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n + v 2 a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n + … + v n a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

u , w + v , w

Resposta

Demonstração

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