Enunciado

Em cada parte, calcule a potência indicada de

A = 1 - 2 8 0 - 1 0 0 0 - 1

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = 1 - 2 8 0 - 1 0 0 0 - 1

Essa é uma matriz triangular então podemos extrair os autovalores diretamente da diagonal principal. Os autovalores são:

λ 1 = 1

λ 2 = λ 3 = - 1

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

λ - 1 2 - 8 0 λ + 1 0 0 0 λ + 1 x 1 x 2 x 3 = 0

  • Para λ = 1
  • 0 2 - 8 0 2 0 0 0 2 x 1 x 2 x 3 = 0

    x 1 = t x 2 = 0 x 3 = 0

    O autovetor é:

    λ 1 = 1 ⇒ x → 1 = t 1 0 0

    A base do autovetor é:

    p → 1 = 1 0 0

  • Para λ = - 1

- 2 2 - 8 0 0 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0

x 1 = t x 2 = s x 3 = - t + s 4

O autovetor é:

λ 2 = 1 ⇒ x → = t s - t 4 + s 4

Como temos duas variáveis independes, podemos separar em dois autovetores:

x → = t s - t 4 + s 4 ⇒ x → = t 0 - t / 4 + 0 s s / 4

Então os autovetores são:

λ 2 = 1 ⇒ x → 2 = 1 4 t 4 0 - 1 x → 3 = 1 4 s 0 4 1

A base do autovetor é:

p → 2 = 4 0 - 1

p → 3 = 0 4 1

Passo 3

A matriz P é:

P = p → 1 p → 2 p → 3 = 1 0 0 4 0 - 1 0 4 1

E a matriz diagonal é dada pela diagonal de autovalores:

D = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

Passo 4

Vamos inverter a matriz P por Eliminação Gaussiana:

P - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1   | | | 1 0 0 4 0 - 1 0 4 1

Vamos dividir a segunda linha por 4 e multiplicar a terceira linha por - 1 .

P - 1 = 1 0 0 0 1 / 4 0 0 0 - 1   | | | 1 0 0 4 0 1 0 1 - 1

Trocamos a segunda e a terceira linha de lugar:

P - 1 = 1 0 0 0 0 1 / 4 0 - 1 0   | | | 1 0 0 4 1 0 0 - 1 1

Vamos somar a terceira linha na segunda:

P - 1 = 1 0 0 0 1 / 4 1 / 4 0 - 1 0   | | | 1 0 0 4 1 0 0 0 1

E agora pegamos a segunda linha, multiplicamos por 4 subtraímos na primeira linha

P - 1 = 1 0 0 0 1 / 4 1 / 4 0 - 1 0   | | | 1 0 0 4 1 0 0 0 1

A inversa é:

P - 1 = 1 0 0 0 1 / 4 1 / 4 0 - 1 0

Passo 5

Item A)

O método diz que:

A k = P D k P - 1

Então vamos aplicar:

A - 1000 = 1 0 0 4 0 - 1 0 4 1 ⋅ 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 - 1000 ⋅ 1 0 0 0 1 / 4 1 / 4 0 - 1 0

Como a matriz é diagonal podemos colocar a potência dentro da matriz:

A - 1000 = 1 0 0 4 0 - 1 0 4 1 ⋅ 1 - 1000 0 0 0 - 1 - 1000 0 0 0 - 1 - 1000 ⋅ 1 0 0 0 1 / 4 1 / 4 0 - 1 0

A - 1000 = 1 0 0 4 0 - 1 0 4 1 ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋅ 1 0 0 0 1 / 4 1 / 4 0 - 1 0

Efetuando as multiplicações matriciais

A - 1000 = 1 0 0 4 0 - 1 0 4 1 ⋅ 1 0 0 0 1 / 4 1 / 4 0 - 1 0

A - 1000 = 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 + 1 0 - 1 / 4 + 1 / 4 0 - 4 + 0 0 + 0 + 0 0 + 1 + 0

Chegamos na resposta

A - 1000 = 1 0 0 1 1 0 - 4 0 1

Resposta

A - 1000 = 1 0 0 1 1 0 - 4 0 1

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