Enunciado

2. Prove: se Q for uma matriz ortogonal, então cada entrada de Q é dada pelo seu cofator se det ⁡ ( Q ) = 1 e pelo negativo de seu cofator se det ⁡ ( Q ) = - 1 .

Passo 1

Se Q é uma matriz ortogonal, então:

Q T = Q - 1

Como:

Q Q - 1 = I

Então:

Q Q T = I

Vamos aplicar determinante:

det ⁡ Q Q T = det ⁡ I

det ⁡ Q det ⁡ Q T = det ⁡ I

Sabemos que:

det ⁡ Q = det ⁡ Q T

Então:

det ⁡ Q det ⁡ Q = 1

det ⁡ Q = ± 1 2

det ⁡ Q = ± 1

Passo 2

Por outro lado nós sabemos que:

Q   a d j Q = det ⁡ Q I

1 det ⁡ Q Q   a d j Q = I

Bem.. se det ⁡ Q = 1 , então:

Q   a d j Q = I

Então, por comparação:

a d j Q = Q T

E como a d j Q é a matriz transposta da matriz de co-fatores, então cada entrada de Q é dada pelo seu cofator, como queríamos demonstrar.

E se det ⁡ Q = - 1 , então:

- Q   a d j Q = I

Então, por comparação:

a d j Q = - Q T

E como a d j Q é a matriz transposta da matriz de co-fatores, então cada entrada de Q é dada pelo negativo de seu cofator, como queríamos demonstrar.

Resposta

a d j Q = Q T

a d j Q = - Q T

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