Enunciado

Em cada parte, calcule a potência indicada de

A = [[[1,-,2,8],[0,-,1,0],[0,0,-,1]]]

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = [[[1,-,2,8],[0,-,1,0],[0,0,-,1]]]

Essa é uma matriz triangular então podemos extrair os autovalores diretamente da diagonal principal. Os autovalores são:

lambda_1 = 1

lambda_2 = lambda_3 = - 1

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

[[[lambda,-,1,2,-,8],[0,lambda,+,1,0],[0,0,lambda,+,1]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = 0

  • Para lambda = 1
  • [[[0,2,-,8],[0,2,0],[0,0,2]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = 0

    [[x_1,=,t,x_2,=,0,x_3,=,0]]

    O autovetor é:

    lambda_1 = 1 => vec x_1 = t [[[1],[0],[0]]]

    A base do autovetor é:

    vec p_1 = [[[1],[0],[0]]]

  • Para lambda = - 1

[[[-,2,2,-,8],[0,0,0],[0,0,0]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = 0

[[x_1,=,t,x_2,=,s,x_3,=,(- t + s)/(4)]]

O autovetor é:

lambda_2 = 1 => vec x = [[[t],[s],[-,(t)/(4),+,(s)/(4)]]]

Como temos duas variáveis independes, podemos separar em dois autovetores:

vec x = [[[t],[s],[-,(t)/(4),+,(s)/(4)]]] => vec x = [[[t],[0],[-,t,//,4]]] + [[[0],[s],[s,//,4]]]

Então os autovetores são:

lambda_2 = 1 => [[vec x_2,=,(1)/(4),t,[[[4],[0],[-,1]]],vec x_3,=,(1)/(4),s,[[[0],[4],[1]]]]]

A base do autovetor é:

vec p_2 = [[[4],[0],[-,1]]]

vec p_3 = [[[0],[4],[1]]]

Passo 3

A matriz P é:

P = [[[vec p_1,vec p_2,vec p_3]]] = [[[[[1],[0],[0]],[[4],[0],[-,1]],[[0],[4],[1]]]]]

E a matriz diagonal é dada pela diagonal de autovalores:

D = [[[1,0,0],[0,-,1,0],[0,0,-,1]]]

Passo 4

Vamos inverter a matriz P por Eliminação Gaussiana:

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[1]]]] [[|],[|],[|]] [[[[1],[0],[0]],[[4],[0],[-,1]],[[0],[4],[1]]]]]

Vamos dividir a segunda linha por 4 e multiplicar a terceira linha por - 1 .

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[0],[1,//,4],[0]],[[0],[0],[-,1]]]] [[|],[|],[|]] [[[[1],[0],[0]],[[4],[0],[1]],[[0],[1],[-,1]]]]]

Trocamos a segunda e a terceira linha de lugar:

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[0],[0],[1,//,4]],[[0],[-,1],[0]]]] [[|],[|],[|]] [[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[0]],[[0],[-,1],[1]]]]]

Vamos somar a terceira linha na segunda:

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[0],[1,//,4],[1,//,4]],[[0],[-,1],[0]]]] [[|],[|],[|]] [[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[0]],[[0],[0],[1]]]]]

E agora pegamos a segunda linha, multiplicamos por 4 subtraímos na primeira linha

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[0],[1,//,4],[1,//,4]],[[0],[-,1],[0]]]] [[|],[|],[|]] [[[[1],[0],[0]],[[4],[1],[0]],[[0],[0],[1]]]]]

A inversa é:

P^(- 1) = [[[[[1],[0],[0]],[[-,1],[1,//,4],[1,//,4]],[[4],[-,1],[0]]]]]

Passo 5

Item A)

O método diz que:

A^k = P D^k P^(- 1)

Então vamos aplicar:

A^(1000) = [[[[[1],[0],[0]],[[4],[0],[-,1]],[[0],[4],[1]]]]] * [[[1,0,0],[0,-,1,0],[0,0,-,1]]]^(1000) * [[[[[1],[0],[0]],[[-,1],[1,//,4],[1,//,4]],[[4],[-,1],[0]]]]]

Como a matriz é diagonal podemos colocar a potência dentro da matriz:

A^(1000) = [[[[[1],[0],[0]],[[4],[0],[-,1]],[[0],[4],[1]]]]] * [[[1^(1000),0,0],[0,(- 1)^(1000),0],[0,0,(- 1)^(1000)]]] * [[[[[1],[0],[0]],[[-,1],[1,//,4],[1,//,4]],[[4],[-,1],[0]]]]]

A^(1000) = [[[[[1],[0],[0]],[[4],[0],[-,1]],[[0],[4],[1]]]]] * [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] * [[[[[1],[0],[0]],[[-,1],[1,//,4],[1,//,4]],[[4],[-,1],[0]]]]]

Efetuando as multiplicações matriciais

A^(1000) = [[[[[1],[0],[0]],[[4],[0],[-,1]],[[0],[4],[1]]]]] * [[[[[1],[0],[0]],[[-,1],[1,//,4],[1,//,4]],[[4],[-,1],[0]]]]]

A^(1000) = [[[[[1,+,0,+,0],[0,+,0,+,0],[0,+,0,+,0]],[[-,1,+,1,+,0],[0,+,0,+,1],[0,-,1,//,4,+,1,//,4]],[[4,-,4,+,0],[0,+,0,+,0],[0,+,1,+,0]]]]]

Chegamos na resposta

A^(1000) = [[[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[1]]]]]

Resposta

A^(1000) = [[[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[0],[0],[1]]]]]

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