Enunciado

Nos exercícios de 23-26, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre

  1. Uma base da imagem de T
  2. Uma base do núcleo de T
  3. O posto e a nulidade de T
  4. O posto e a nulidade de A

A = 2 0 - 1 4 0 - 2 20 0 0

Passo 1

Item A)

Temos a matriz A:

A = 2 0 - 1 4 0 - 2 20 0 0

Vamos coloca-la na forma triangular superior:

A primeira e a segunda linha são múltiplos escalares entre si, então podemos eliminar a segunda. Além disso, vamos dividir a terceira linha por 20:

2 0 - 1 0 0 0 1 0 0

Vamos pegar a terceira linha, multiplicar por dois e subtrair na primeira:

0 0 - 1 0 0 0 1 0 0

E trocamos a primeira e a terceira linha de lugar:

1 0 0 0 0 0 0 0 - 1

As primeira e a terceira coluna são idependentes entre si, então elas formam a base do espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A é igual a base da imagem de T

I m T = 1 4 20 - 1 - 2 0

Passo 2

Item B)

Agora vamos resolver o sistema:

A ⋅ x → = 0

1 0 0 0 0 0 0 0 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Resolvendo:

x 1 = 0

- x 3 = 0

Se chamarmos x 2 de t :

x 1 = 0 x 2 = t x 3 = 0

Isso forma a base do espaço nulo de A, que é o núcleo de T:

N u c T = 0 1 0

Passo 3

O Posto de T é igual a dimensionalidade da base da imagem de T

P o s t o T = dim ⁡ I m T = dim ⁡ 1 4 20 - 1 - 2 0 = 2

A nulidade de T é igual a dimensão do núcleo de T:

N u l T = dim ⁡ N u c T = dim ⁡ 0 1 0 = 1

Passo 4

O espaço coluna de A é bidimensional, então o posto é:

P o s t o A = 2

O espaço nulo de A é unidimensional, então a nulidade de A é?

N u l A = 1

Resposta

  1. I m T = 1 4 20 - 1 - 2 0
  2. N u c T = 0 1 0
  3. P o s t o T = 2 e N u l T = 1
  4. P o s t o A = 2 e N u l A = 1
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