Enunciado

  1. Resolva o sistema
  2. y 1 ' = - 4 y 1 +     y 2 + y 3 y 2 ' = - 2 y 1 + y 2 + y 3 ' = - 2 y 1 +     y 2 + y 3

  3. Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y 1 0 = - 1 ,   y 2 0 = 1 ,   y 3 = 0

Passo 1

Item A)

A gente tem o sistema:

y 1 ' = - 4 y 1 +     y 2 + y 3 y 2 ' = - 2 y 1 + y 2 + y 3 ' = - 2 y 1 +     y 2 + y 3

Colocando em forma matricial temos:

4 - 2 - 2 0 1 0 1 0 1 y 1 y 2 y 3 = y 1 ' y 2 ' y 3 '

Então, a matriz de coeficientes é:

A = 4 - 2 - 2 0 1 0 1 0 1

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os autovalores da matriz de coeficientes:

det ⁡ λ I - A = 0

Aplicamos os valores:

λ - 4 2 2 0 λ - 1 0 - 1 0 λ - 1 = 0

Calculamos o determinante:

λ - 4 λ - 1 ( λ - 1 ) - 2 ( λ - 1 ) ( - 1 ) = 0

E resolvendo esta equação encontramos os autovalores:

λ 1 = 1 λ 2 = 2 λ 3 = 3

Passo 3

E agora vamos calcular os autovetores e a base dos autos espaços pela relação.

λ I - A x → = 0

λ - 4 2 2 0 λ - 1 0 - 1 0 λ - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ 1 = 1

- 3 2 2 0 0 0 - 1 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Perceba que a segunda e terceira linhas são múltiplos escalares entre si, então podemos zerar a terceira linha. Vamos aproveitar para também dividir a segunda linha por 2 :

- 3 1 0 0 0 0 - 1 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Logo:

- 3 x 1 - x 3 = 0

x 1 = 0

Chegamos em:

x 1 = 0

x 2 = t

x 3 = 0

Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:

x → 1 = 0 1 0 t p 1 = 0 1 0

Passo 4

Para λ = 2

- 2 2 2 0 1 0 - 1 0 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A primeira e a terceira linha são múltiplos escalares entre si, então podemos zerar a terceira linha. Vamos aproveitar para também multiplicar a primeira linha por - 1 :

2 2 0 0 1 0 1 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Chegamos em:

2 x 1 + x 3 = 0

2 x 1 + x 2 = 0

Se chamarmos x 1 = - t então x 2 = 2 t e x 3 = 2 t

Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:

x → 2 = - 1 2 2 t p 2 = - 1 2 2

Passo 5

Para λ = 3

- 1 2 2 0 2 0 - 1 0 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A primeira e a terceira linha são múltiplos escalares entre si, então podemos zerar a terceira linha. Vamos aproveitar para também multiplicar a primeira linha por - 1 e dividir a segunda linha por 2 :

1 1 0 0 1 0 1 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Chegamos em:

x 1 + x 3 = 0

x 1 + x 2 = 0

Se chamarmos x 1 = t então x 2 = - t e x 3 = - t

Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:

x → 3 = 1 - 1 - 1 t p 3 = 1 - 1 - 1

Passo 6

Vamos utilizar as bases dos autovetores para determinar a matriz P:

P = p 1 p 2 p 3 = 0 1 0 - 1 2 2 1 - 1 - 1

E agora vamos diagonalizar a matriz A, para isso basta utilizarmos os autovalores:

D = P - 1 A P = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 ⇒ D = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

Passo 7

Agora vamos resolver o sistema diagonal:

u → ' = D ⋅ u →

u 1 ' u 2 ' u 3 ' = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ⋅ u 1 u 2 u 3

Efetuando o produto matricial:

u 1 ' = u 1 u 2 ' = 2 u 2 u 3 ' = 3 u 3

Pela solução geral de equações diferenciais, podemos assumir que:

u 1 = c 1 e x u 2 = c 2 e 2 x u 3 = c 3 e 3 x

Logo:

u → = c 1 e x c 2 e 2 x c 3 e 3 x

Passo 8

Agora vamos calcular a equação diferencial:

y → = P ⋅ u →

Vamos aplicar:

y 1 y 2 y 3 = 0 1 0 - 1 2 2 1 - 1 - 1 ⋅ c 1 e x c 2 e 2 x c 3 e 3 x

Efetuando a multiplicação matricial chegamos na solução das equações:

y 1 y 2 y 3 = - c 2 e 2 x + c 3 e 3 x c 3 e       3 x c 1 e x + 2 c 2 e 2 x - c 3 e 3 x 2 c 2 e 2 x - c 3 e 3 x c 3 e       3 x

Podemos expressar como:

y 1 = - c 2 e 2 x + c 3 e 3 x y 2 = c 1 e x + 2 c 2 e 2 x - c 3 e 3 x y 3 = 2 c 2 e 2 x - c 3 e 3 x

Passo 9

Item B)

A questão nos afirma que quando x = 0 , então y 1 0 = - 1 ,   y 2 0 = 1 ,   y 3 = 0

y 1 ( 0 ) = - c 2 e 2 x + c 3 e 3 x c 3 e       3 x y 2 ( 0 ) = c 1 e x + 2 c 2 e 2 x - c 3 e 3 x y 3 ( 0 ) = 2 c 2 e 2 x - c 3 e 3 x c 3 e       3 x ⇒ - 1 = - c 2 e 0 + c 3 e 0 c 3 e       3 x 1 = c 1 e 0 + 2 c 2 e 0 - c 3 e 0 0 = 2 c 2 e 0 - c 3 e 0 c 3 e       3 x

Chegamos em:

- 1 = - c 2 + c 3 - 1 = c 1 + 2 c 2 - c 3 - 0 = 2 c 2 - c 3

Resolvendo esse sistema:

c 1 = 1 c 2 = - 1 c 3 = - 2

Resposta

  1. y 1 y 2 y 3 = - c 2 e 2 x + c 3 e 3 x c 3 e       3 x c 1 e x + 2 c 2 e 2 x - c 3 e 3 x 2 c 2 e 2 x - c 3 e 3 x c 3 e       3 x
  2. c 1 = 1 ;   c 2 = - 1 ;   c 3 = - 2
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