Enunciado

(a) Explique por que a distância entre as retas que contêm as arestas opostos A B e C D de um tetraedro é igual a A C → . ( A B → ∧ C D ) → A B → ∧ C D →   .

Passo 1

Bora lá!

Primeiro, vamos esboçar o nosso tetraedro com vértices ABCD.

Passo 2

Para calcularmos a distância entre as retas que contém as arestas AB e CD, vamos utilizar as propriedades geométricas do produto escalar e do produto vetorial. Sabemos que o produto escalar entre os vetores A B → e C D → define um novo vetor normal N → perpendicular a ambos os vetores. Ou seja:

N → = A B → ∧ C D →

Passo 3

Tomando agora o módulo da projeção de uma das arestas que liguem os pontos A e B à C e D sobre o vetor N → , temos diretamente a distância que queremos entre as retas. O produto escalar dividido pela norma do vetor sobre o qual é feita a projeção nos dá justamente a projeção de um vetor sobre o outro. Dessa forma, tomando de forma arbitrária a aresta AC, temos que a distância entre as retas, pode ser escrita da seguinte maneira:

d = A C → . A B → ∧ C D → A B → ∧ C D →

Portanto, provamos o que foi nos pedido 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Com base na Figura 3.14, calcularf) B D → × C D →
Sendo u → = 2 2 ,v → = 4 e 45 ° o ângulo entre u → e v → , calcularb) 2 5 u → × 1 2 v →
Determine u → . v → , sabendo que u → × v → = 12 ,u → = 13 e v → é unitário.
Dados os vetores u → = ( 1 ,1 ,0 ) e v → = ( - 1 ,1 ,2 ) , determinar:a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u → e v → ;b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u → e v → .
Sabendo que u → = 6 ,v → = 4 e 30 ° o ângulo entre u → e v → , calcular:b) a área do paralelogramo determinado por u → e ( - v → ) ;