Enunciado

Uma fonte luminosa pontual, situada em F = 0 ,   0 ,   1 , emiti um raio luminoso na direção do ponto A = 1,1 , 0 , que é refletido por um espelho plano contido em π : y = 3 .

  1. Em que ponto do espelho incide o raio luminoso?
  2. Em que ponto o raio luminoso atinge o plano O x z ? E π 1 : x + y + 1 = 0 ?

Passo 1

Notemos que o raio luminoso pode ser modelado por uma reta. Como temos o ponto em que a luz parte, F , e a direção, F A → , então temos a equação da reta.

Note que F A → = A - F = 1,1 , 0 - 0,0 , 1 = 1,1 , - 1 .

Assim, a equação do raio luminoso será:

X = 0 ,   0,1 + λ 1,1 , - 1 ,   λ ∈ R

Passo 2

Para o item (a), basta calcularmos a intersecção do raio luminoso com π :

X = 0,0 , 1 + λ 1,1 , - 1 = λ ,   λ , 1 - λ

Como X pertencerá a π , segue que as coordenadas de X irá satisfazer a equação do plano:

y = 3 ⟹ λ = 3

Portanto, segue que X = 3,3 , - 2 é o ponto de intersecção.

Passo 3

Para resolvermos o item (b), precisamos utilizar a lei da reflexão. Tal lei diz que:

O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência

O raio incidente, a reta normal e o raio refletido estão num mesmo plano

Inicialmente, vamos encontrar o plano que contém a reta normal e o raio refletido. A reta normal ao plano π : y = 3 possui vetor diretor 0 ,   1 ,   0 ; o vetor diretor do raio luminoso é 1 ,   1 ,   - 1 . Portanto, podemos encontrar a equação do plano da seguinte maneira:

0 ,   1 ,   0 × 1 ,   1 ,   - 1 =   i ^ j ^ k ^ 0 1 0 1 1 - 1 = - 1 ,   0 ,   - 1

A equação do plano será

π 2 : - x + 0 y - z + d = 0

Como π 2 passa por 3 ,   3 ,   - 2 , segue que

- 3 + 2 + d = 0 ⟹ d = 1

Portanto,

π 2 :   x + z - 1 = 0

Passo 4

O próximo passo será encontrar qual a equação do raio refletido. Já sabemos um ponto dessa reta, X = 3 ,   3 ,   - 2 . Precisamos de outro ponto para que sua equação fique determinada. Como podemos fazer isso? Veja bem, podemos calcular o ponto simétrico de F em relação à reta X 2 = 3 ,   3 ,   - 2 + t 0 ,   1 ,   0 (que é a reta normal ao espelho passando pelo ponto X ).

Passo 5

Para calcular o ponto simétrico, vamos calcular a equação da reta, X 3 , que passa por F , possui vetor diretor perpendicular ao de X 2 , e está contida em π 2 .

  1. Seja x 0 ,   y 0 ,   z 0 o vetor diretor de X 3 . Assim,
  2. x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⋅ 0 ,   1 ,   0 = 0 ⟹ y 0 = 0  

  3. Como está contida em π 2 :

x 0 + z 0 - 1 = 0 ⟹ z 0 = 1 - x 0

Portanto, temos

X 3 = 0,0 , 1 + t x 0 ,   0 ,   1 - x 0

Passo 6

Vamos calcular a intersecção de X 3 com X 2 :

0 ,   0 ,   1 + t 1 x 0 ,   0 ,   1 - x 0 = 3,3 , - 2 + t 2 0,1 , 0

t 1 x 0 ,   0 ,   t 1 - t 1 x 0 + 1 = 3 ,   3 + t 2 ,   - 2 ⟹ t 1 x 0 = 3 3 + t 2 = 0 t 1 - t 1 x 0 + 1 = - 2

Da segunda equação, tiramos que t 2 = - 3 , de modo que o ponto obtido é:

3 ,   3 ,   - 2 + - 3 0 ,   1 ,   0 = 3 ,   0 ,   - 2

O ponto M = 3 ,   0 ,   - 2 é o ponto médio entre o ponto F e o ponto que desejamos (vamos indica-lo por Y ). Dessa forma,

M = F + Y 2 ⟹ Y = 2 M - F ∴ Y = 2 3,0 , - 2 - 0,0 , 1 = 6,0 , - 5

De maneira que a equação do raio refletido será:

X 4 = F + t X Y → = 3 ,   3 ,   - 2 + t 6,0 , - 5 - 3 ,   3 ,   - 2   = 3 ,   3 ,   - 2 + t 3 ,   - 3 , - 3

∴ X 4 = 3 + 3 t ,   3 - 3 t , - 2 - 3 t

Passo 7

O ponto em que X 4 atinge O x z (plano de equação y = 0 ) ocorrerá quando:

3 - 3 t = 0 ∴ t = 1

Logo, o ponto será

( 6 ,   0 ,   - 5 )

Para a intersecção com o plano π 1 : x + y + 1 = 0 , temos

3 + 3 t + 3 - 3 t + 1 = 0 ⟹ 7 = 0

o que é impossível. Logo, o raio não atinge π 1 !! Ufa....

Resposta

  1. 3 ,   3 ,   - 2 ;
  2. 6 ,   0 ,   - 5 e não atinge π 1 .
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Em cada um dos casos abaixo, decida se o triângulo ABC tem um ângulo obtuso, um ângulo reto ou se seus três ângulos são agudos: A = 2 , 3 ,B = 6 , 7 ,C = ( 3 , 10 )
Em cada um dos casos abaixo, decida se o triângulo ABC tem um ˆangulo obtuso, um ˆangulo reto ou se seus três ˆângulos são agudos: A = 1 , 2 ,B = 2 , - 3 ,C = ( 4,8 )
Sejam A = a , 0eB = 0 , a , com a ≠ 0 . Ache x de modo que o ponto C = ( x , x ) seja o terceiro vértice do triângulo equilátero A B C .
Em cada um dos casos abaixo, decida se o triângulo ABC tem um ˆangulo obtuso, um ˆangulo reto ou se seus três ˆângulos são agudos: A = 0,0 ,B = 3,152 ,C = ( - 45,1 )
Dados A = 2,5eC = ( - 8,2 ) , calcule os cossenos dos ângulos.O Â CeO C A . Â