Enunciado

Determine as extremidades B e D de uma das diagonais de um losango A B C D contido no plano π : x - y - z = 0 , sabendo que A = 3,0 , 3 ,   C = 1,2 , - 1 , e que o ângulo A B ^ C mede 120 ° .

Passo 1

Seja B = x B ,   y B ,   z B . Como B pertence ao plano π , segue que x B - y B - z B = 0 , ou seja:

x B = y B + z B

Vamos usar nosso conhecimento geométrico para terminar de resolver o problema. Ora, sabemos que A B C D é um losango, como mostra a figura abaixo.

Na figura acima, traçamos as diagonais A C   e   B D , de modo que o ponto E é a intersecção dessas diagonais. Note que poderíamos obter o valor de A B → a partir da trigonometria básica do triângulo A B E . Para isso, precisaremos do valor de A E → . Porém, sabemos que uma das características de um losango é que os quatro triângulos E A B ,   E C B ,   E C D ,   E D A são congruentes, de forma que

A E → = 1 2 A C → = 1 2 x A - x C 2 + y A - y C 2 + z A - z C 2

A E → = 1 2 3 - 1 2 + 0 - 2 2 + 3 - - 1 2 = 1 2 24 = 1 2 ⋅ 2 6 = 6

Agora, vamos calcular a A B → :

A B → = A E → sin ⁡ 60 ° = 6 3 / 2 = 2 2

Por fim, notemos que

A B → ⋅ C B → = A B → B C → cos ⁡ 120 ° = 2 2 2 2 cos ⁡ 120 ° = 8 ⋅ - 1 2 = - 4

∴ B A → ⋅ C B → = - 4

Passo 2

Temos agora três equações e três incógnitas (a saber, x B ,   y B ,   z B ).

  1. x B = y B + z B ;
  2. A B → = 2 2 ;
  3. A B → ⋅ C B → = - 4 .

Vamos, agora, trabalhar as equações ii) e iii).

Para ii):

A B → 2 = 2 2 2 ∴ x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = 8 ⟹

x B - 3 2 + y B - 0 2 + z B - 3 2 = 8 ∴ x B - 3 2 + y B 2 + z B - 3 2 = 8 ⟹

x B 2 - 6 x B + 9 + y B 2 + z B 2 - 6 z B + 9 = 8 ⟹

x B 2 + y B 2 + z B 2 - 6 x B - 6 z B = - 10

Para iii):

A B → ⋅ C B → = - 4 ∴ x B - 3 , y B ,   z B - 3 ⋅ x B - 1 ,   y B - 2 ,   z B + 1 = - 4 ⟹  

x B - 1 x B - 3 + y B y B - 2 + z B - 3 z B + 1 = - 4 ⟹

x B 2 - 4 x B + 3 + y B 2 - 2 y B + z B 2 - 2 z B - 3 = - 4 ⟹

x B 2 + y B 2 + z B 2 - 4 x B - 2 y B - 2 z B = - 4

Passo 3

Tudo que nos resta é resolver o sistema de três equações e três incógnitas:

x B = y B + z B x B 2 + y B 2 + z B 2 - 6 x B - 6 z B = - 10 x B 2 + y B 2 + z B 2 - 4 x B - 2 y B - 2 z B = - 4

Subtraindo a segunda equações da terceira, temos:

x B 2 + y B 2 + z B 2 - 4 x B - 2 y B - 2 z B - x B 2 + y B 2 + z B 2 - 6 x B - 6 z B = - 4 - - 10 ⟹

2 x B - 2 y B + 4 z B = 6 ∴ x B - y B + 2 z B = 3

Usando a primeira equação,

y B + z B - y B + 2 z B = 3 ∴ 3 z B = 3 ⟹ z B = 1

Assim, segue que x B = y B + 1 . Substituindo essa relação, por exemplo, na equação 2 do sistema:

y B + 1 2 + y B 2 + 1 2 - 6 y B + 1 - 6 ⋅ 1 = - 10 ⟹

y B 2 + 2 y B + 1 + y B 2 + 1 - 6 y B - 6 - 6 = - 10 ⟹

2 y B 2 - 4 y B - 10 = - 10 ⟹

2 y B 2 - 4 y B = 0 ∴ 2 y B y B - 2 = 0

Assim, podemos ter y B = 0 ou y B = 2 . Finalmente, segue que podemos ter x B = 1 ou x B = 3 . Temos, portanto, duas soluções: 1 ,   0 ,   1 ou 3 ,   2 ,   1 . O que significa encontrarmos dois pontos? Significa que já encontramos B e D !! Note que se trocarmos as posições de B e D no desenho, haverá apenas uma mudança no “sentido” que visualizamos o losango.

Resposta

Os pontos são 1 ,   0 ,   1 e 3 ,   2 ,   1 .

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