Enunciado

Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1 g) determinou-se que:

  1. O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
  2. O alimento II tem 2 , 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A. B e C.
  3. O alimento III tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B.

Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C ,

  1. Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada.
  2. Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10 , existe uma solução custando exatamente Cr$ 1,00 ?

Passo 1

Opa, tudo certin?

Vamos montar o seguinte sistema:

x + 2 y + 3 z = 11 3 x + 3 y = 9 4 x + 5 y + 3 z = 20

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema, é bem simples:

1 2 3 3 3 0 4 5 3       11 9 20

Passo 3

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L 2 → L 2 - 3 L 1 :

1 2 3 0 - 3 - 9 4 5 3       11 - 24 20

Agora L 3 → L 3 - 4 L 1 :

1 2 3 0 - 3 - 9 0 - 3 - 9       11 - 24 - 24

Fazendo L 3 → L 3 - L 2 :

1 2 3 0 - 3 - 9 0 0 0       11 - 24 0

Aqui vamos fazer L 2 → - 1 3 L 2 :

1 2 3 0 1 3 0 0 0       11 8 0

E agora por último L 1 → L 1 - 2 L 2 :

1 0 - 3 0 1 3 0 0 0       - 5 8 0

Passo 4

Pronto, agora tá simples, achamos que:

x - 3 z = - 5 y + 3 z = 8

Vamos isolar os termos agora:

y = 8 - 3 z

x = - 5 + 3 z

Essas quantidades de alimentos são números naturais (0,1,2,...), já que não tem como ter -2 alimentos hahaha

Primeiro temos que impor que x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 . Assim, olhando as nossas condições

x ≥ 0 → - 5 + 3 z ≥ 0

z ≥ 5 3

E a segunda condição

y ≥ 0 → 8 - 3 z ≥ 0

z ≤ 8 3

Assim combinando essas condições, ficamos com

5 3 ≤ z ≤ 8 3

Que podemos rescrever como

1,67 ≤ z ≤ 2,67

E o único natural nesse intervalo é z = 2 . Então o nosso sistema só admite uma solução nos números naturais!

Como z = 2

z = 2

x = - 5 + 3 z = 1

y = 8 - 3 z = 2

Show? :D

Passo 5

b)

O enunciado diz que o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10 centavos. Como temos só uma solução, só temos um gasto possível que será

1 ⋅ 60 + 2 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10 = 60 + 20 + 20 = 100

Que dá exatamente 100 centavos = 1 real (ou seja lá que moeda é essa do exercício haha).

Então a resposta da b) é sim: existe uma solução que custa exatamente 100 centavos ^^

Resposta

a)

x = 1

y = 2

z = 2

b)

Sim, existe uma solução que custa exatamente 100 centavos

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