Enunciado

Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.

2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4

Passo 1

Vamos lá, para resolver o sistema vamos montar a matriz ampliada:

2 - 1 3 4 - 3 2 1 3 1 1 1 1 11 0 6 4

Agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para resolver o sistema, primeiro vamos anular os coeficientes abaixo da diagonal da matriz:

Fazendo L 2 = L 2 - 2 L 1 , L 3 = 2 L 3 - L 1 e L 4 = 3 L 1 - 2 L 4 :

2 - 1 3 0 - 1 - 4 0 0 3 - 5 - 1 7 11 - 22 1 25

Agora L 3 = 3 L 2 + L 3 e L 4 = L 4 - 5 L 2 :

2 - 1 3 0 - 1 - 4 0 0 0 0 - 13 27 11 - 22 - 65 135

Fazendo L 4 = 27 L 3 + 13 L 4 :

2 - 1 3 0 - 1 - 4 0 0 0 0 - 13 0 11 - 22 - 65 0

Passo 2

Agora vamos deixar os coeficientes da diagonal igual a 1 e zerar os outros coeficientes da parte superior da diagonal.

Dividindo L 1 por 2 , L 2 por - 1 e L 3 por - 13 :

1 - 1 2 3 2 0 1 4 0 0 0 0 1 0 11 2 22 5 0

Fazendo L 1 = L 1 + 1 2 L 2 :

1 0 7 2 0 1 4 0 0 0 0 1 0 33 2 22 5 0

Fazendo L 2 = L 2 - 4 L 3 :

1 0 7 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 33 2 2 5 0

E por último L 1 = L 1 - 7 2 L 3 :

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 - 1 2 5 0

Pronto, tudo certo, assim ficamos com o sistema bem simples:

x + 0 ⋅ y + 0 ⋅ z = - 1 0 ⋅ x + y + 0 ⋅ z = 2 0 ⋅ x + 0 ⋅ y + z = 5

E por fim achamos que:

x = - 1

y = 2

z = 5

Resposta

x = - 1

y = 2

z = 5

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