Enunciado

22. As funções f 1 x = sen ⁡ x e f 2 x = cos ⁡ x são linearmente independentes em F ( - ∞ , ∞ ) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wronskiano.

Passo 1

Para resolvermos nosso problema vamos usar o teste do wronskiano para confirmar a independência linear das funções.

Mas o que é o wronskiano?

W x = f 1 x f 2 x … f n x f 1 ´ x f 2 ´ x … f n ´ x ⋮ ⋮ ⋮ ⋮           f 1 ( n - 1 ) x         f 2 ( n - 1 ) x …       f n ( n - 1 ) x

Que é esse determinante que depende das funções e suas ( n - 1 ) derivadas.

Logo o teorema 4.3.4 da 10° edição do livro, nos diz:

Se as funções   f 1 ,     f 2 …   f n tiverem n - 1 derivadas continuas no intervalo ( - ∞ , ∞ ) e se o wronskiano for ≠ 0 nesse intervalo, então as funções formam um conjunto linearmente independente.

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções f 1 x = x e f 2 x = cos ⁡ x . Como só temos duas funções ( n = 2 ) vamos ter n - 1 = 1 , logo vamos ter apenas a primeira derivada.

d f 1 x d x = d d x sen ⁡ x = cos ⁡ x

d f 2 x d x = d d x cos ⁡ x = - sen ⁡ x

Passo 2

Agora vamos resolver o wronskiano:

W x = sen ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x = sen ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x - ( cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x )

= - sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x

Logo = - sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x ≠ 0 em algum x

Observe que pela identidade trigonométrica:

- sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = - 1 = - 1

Mostrando que as funções formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

- sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x ≠ 0 em algum x

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