Enunciado

Identificar as quádricas representadas pelas equações

x 2 - 4 y 2 + 2 z 2 = 8

Passo 1

Nessa questão, devemos manipular os termos da equação a fim de identificar um modelo que determine qual tipo de quádrica ela é.

Numa análise preliminar, vemos que não existem variáveis elevadas ao expoente 1 . Logo, a quádrica dessa equação está centrada em x 0 ,   y 0 ,   z 0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Passo 2

Vamos começar analisando a equação x 2 - 4 y 2 + 2 z 2 = 8 .

As equações modelo de quádricas separam os termos com incógnitas de um lado da equação e os escalares do outro lado. Não precisamos fazer isso nessa pois as incógnitas já estão separadas.

Passo 3

Agora, vamos deixar essas incógnitas com um denominador. Para isso, vamos usar da relação

a x 2 = x 2 1 a

Manipulando a equação usando essa relação, temos:

x 2 1 - y 2 1 4 + z 2 1 2 = 8

Passo 4

Por último, vamos colocar o escalar como um escalar elevado ao quadrado. Assim

x 2 1 - y 2 1 4 + z 2 1 2 = 8

x 2 1 - y 2 1 4 + z 2 1 2 = 8 2  

O modelo que se parece com essa equação é a equação do hiperboloide de uma folha ao longo do eixo y

x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = k 2

Pronto! Era isso que a questão pedia!

Resposta

A equação representa um hiperboloide de uma folha

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Seja Ω a quádrica de equação x 2 + 6 z 2 - 4 x + y - 12 z = 0 . Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos de primeiro grau e identifique a quádrica.Obtenha, em relação ao s