Enunciado

Seja Ω a quádrica de equação x 2 + 6 z 2 - 4 x + y - 12 z = 0 .

  1. Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos de primeiro grau e identifique a quádrica.
  2. Obtenha, em relação ao sistema antigo, equações dos planos paralelos aos planos coordenados cujas interseções com Ω sejam elipses de distância focal 10.
  3. Faça um esboço da quádrica e desenhe, em vista frontal, suas projeções ortogonais sobre os planos O x y , O x z e O y z .

Passo 1

Então, como temos uma equação do segundo grau a três incógnitas com termos lineares e sem termos mistos, podemos fazer uma translação para eliminar estes termos lineares.

Este é o nosso objetivo. Eliminar estes termos lineares para poder identificar a nossa quádrica. Então, temos que fatorar a equação. Portanto,

x 2 + 6 z 2 - 4 x + y - 12 z = 0

x 2 - 4 x + 6 z 2 - 12 z + y = 0

x 2 - 4 x + 4 - 4 + 6 ⋅ z 2 - 2 z + y = 0

x - 2 2 + 6 ⋅ z 2 - 2 z + 1 - 6 = - y + 4

x - 2 2 + 6 ⋅ z - 1 2 = - y + 10

- x - 2 2 - 6 ⋅ z - 1 2 = y - 10

Vamos fazer uma translação da origem O = 0,0 , 0 para O ' = 2,10,1 . Para isto, temos o seguinte sistema:

u = x - 2 v = y - 10 w = z - 1

E assim teremos a seguinte equação:

- u 2 - 6 w 2 = v

O que consiste em um paraboloide elíptico!

Passo 2

Agora, temos que obter, em relação ao sistema antigo, equações de elipses com distância focal igual a 10.

Para o paraboloide obtido, só temos elipses quando fazemos interseção com planos paralelos a y = v = 0 . Portanto, seja um plano y = d , tal que d ≤ 10 , temos a seguinte hipérbole:

- x - 2 2 - 6 ⋅ z - 1 2 = d - 10

x - 2 2 + 6 ⋅ z - 1 2 = 10 - d

x - 2 2 10 - d + z - 1 2 10 - d 6 =

Então, se a 2 = 10 - d e b 2 = 10 - d 6 , o valor de c será:

c = a 2 - b 2 = 10 - d - 10 - d 6 = 50 - 5 d 6

E a distância focal será igual a:

2 c = 2 50 - 5 d 6 = 10

50 - 5 d 6 = 5

50 - 5 d 6 = 2 5

50 - 5 d = 150

5 d = - 100

d = - 20

Portanto, o plano será π : y = - 20 .

Passo 3

O esboço das quádricas é algo um pouco mais difícil. Aqui, iremos mostrar como ela está se comportando no geral.

O importante, é sempre colocarem o vértice dela e indicar os eixos, como ela se comporta (eixo de simetria e etc). Portanto, temos o seguinte paraboloide:

Agora, vamos fazer as projeções do paraboloide com os planos O x y , O x z e O y z . Começando por O x y , temos:

Em relação a O y z , temos:

Por fim, em relação a O x z é o próprio plano. Portanto, não tem muito o que esboçarmos aqui.

Resposta

  1. A translação foi:
  2. u = x - 2 v = y - 10 w = z - 1

    E com isto obtemos o paraboloide elíptico Ω : v = - u 2 - 6 w 2 .

  3. π : y = - 20
  4. O esboço do paraboloide é:

Já a projeção nos planos O x y e O y z , são, respetivamente:

Enquanto a projeção em relação ao plano O x z é o próprio plano.

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Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano π dado. Representar graficamente esta interseção no plano π .
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
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