Enunciado

  1. Prove que o paraboloide elíptico Ω : z = x 2 a 2 + y 2 b 2 é simétrico em relação aos planos O x z e O y z e, consequentemente, à sua interseção O z .
  2. Dê contra-exemplos para mostrar que Ω : z = x 2 a 2 + y 2 b 2 não é simétrico em relação a O x y , nem a O x nem a O y

Passo 1

Seja A = x 0 , y 0 , z 0 um ponto qualquer do espaço. O seu simétrico em relação ao plano O x z : y = 0 será A 1 = x 0 , - y 0 , z 0 . Já em relação ao plano O y z : x = 0 será A 2 = - x 0 , y 0 , z 0 .

Percebam que nós fizemos um ponto A qualquer.

Agora, vamos provar a simetria, a começar pelo plano O x z . Provar esta simetria significa dizer que, se o ponto A pertence a Ω , o ponto A 1 também pertence. Basicamente, vamos substituir ambos os pontos e verificar que ambos geram o mesmo resultado (mesma equação).

Portanto, começando por A , temos:

z 0 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2

z 0 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2

Agora, vamos substituir as coordenadas de A 1 . Portanto,

z 0 = x 0 2 a 2 + - y 0 2 b 2

z 0 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2

E obtivemos o mesmo resultado ao substituir o ponto A ! Portanto, há simetria em relação ao plano O x z . Agora, substituindo as coordenadas de A 1 , temos:

z 0 = - x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2

z 0 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2

Novamente, o mesmo resultado. Portanto, também é simétrico em relação ao plano O y z .

Para finalizarmos, se uma superfície é simétrica em relação a 2 planos, ela também é simétrica em relação a reta interseção deles.

Como a superfície Ω é simétrica em relação ao eixo O y z e O x z , cuja reta interseção é o eixo O z , isto significa dizer que a superfície Ω é simétrica em relação a reta O z

Passo 2

Um bom caso para verificarmos como contra-exemplo de simetria, é o ponto a , 0,1 . Ele pertence a superfície Ω , pois:

z = x 2 a 2 + y 2 b 2

1 = a 2 a 2 + 0 2 b 2

1 = 1 + 0

1 = 1

O que obtemos é uma verdade. Já se analisarmos em relação ao ponto é a , 0 , - 1 , simétrico em relação ao plano O x y e aos eixos O x e O y , ao substituirmos estas coordenadas na equação de Ω , obtemos:

- 1 = a 2 a 2 + 0 2 b 2

- 1 = 1 + 0

- 1 = 1

O que é claramente uma mentira. E assim, verificamos esta falsidade. Logo, Ω não é simétrico em relação ao plano O x y e aos eixos O x e O y .

Resposta

  1. Provado.
  2. Basta verificar que a , 0,1 pertence a superfície e o ponto a , 0 , - 1 não pertence.
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