Enunciado

Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos ( a , b , c ou p ) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.

(f) x 2 - 2 x y + y 2 - 10 x - 6 y + 25 = 0

Passo 1

(b) Agora queremos resolver essa equação aqui:

x 2 - 2 x y + y 2 - 10 x - 6 y + 25 = 0

Nosso primeiro objetivo aqui vai ser se livrar desse termo misto, o - 2 x y .

O primeiro passo pra fazer isso é dar nome para os coeficientes na equação. Lembrando que a forma geral é:

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0

x 2 - 2 x y + y 2 - 10 x - 6 y + 25 = 0       ⇒           a = 1 b = - 2 c = 1 d = - 10 e = - 6 f = 25

E a ideia aqui é aplicar uma rotação de coordenadas dessa forma aqui:

x = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ y = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

Mas vamos usar as fórmulas que o livro demonstra para facilitar essa conta. A ideia é transformar essa equação em uma nova com essa forma aqui:

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f ' = 0

Ok, vamos em frente.

Passo 2

Para encontrar o ângulo θ da nossa rotação, vamos usar essa fórmula aqui:

cotg ⁡ 2 θ = a - c b

No nosso caso:

cotg ⁡ 2 θ = 1 - 1 - 2 = 0

E para descobrir os coeficientes a ' e c ' da nova equação, temos que primeiro encontrar o sen ⁡ 2 θ . Dá pra fazer isso usando essa fórmula:

sen ⁡ 2 θ = 1 1 + cotg 2 ⁡ 2 θ  

sen ⁡ 2 θ = 1 1 + 0 = 1

Agora é só resolver esse sistema aqui para encontrar a ' e c ' (lembrando que só estamos aplicando fórmulas aqui! Elas valem para qualquer caso de rotação de coordenadas):

a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sen ⁡ 2 θ

Substituindo com os nosso valores:

a ' + c ' = 1 + 1 a ' - c ' = - 2 1

a ' + c ' = 2 a ' - c ' = - 2

Somando as duas equações:

2 a ' = 0

a ' = 0

E substituindo isso na primeira equação:

0 + c ' = 2

c ' = 2

Então por enquanto a nossa equação está assim:

0 u 2 + 2 v 2 + d ' u + e ' v + f ' = 0

Ah, e a constante f não muda com a rotação, então:

f ' = f = 25

2 v 2 + d ' u + e ' v + 25 = 0

Passo 3

Também calculamos que o ângulo de rotação é tal que:

sen ⁡ 2 θ = 1

cotg ⁡ 2 θ = 0

Temos que usar isso para descobrir sen ⁡ θ e cos ⁡ θ .

Sabemos que sen ⁡ π 2 = 1 , então:

2 θ = π 2

θ = π 4

Ou seja:

cos ⁡ θ = cos ⁡ π 4 = 2 2

sen ⁡ θ = sen ⁡ π 4 = 2 2

Passo 4

Agora que conhecemos esse valores podemos usar mais uma fórmula! Essa serve para calcular d ' e e ' :

d ' = d cos ⁡ θ + e sen ⁡ θ e ' = - d sen ⁡ θ + e cos ⁡ θ

Substituindo d = - 10 , e = - 6 e os valores que calculamos agora:

d ' = - 10 2 2 - 6 2 2 e ' = 10 2 2 - 6 2 2         ⇒           d ' = - 5 2 - 3 2 = - 8 2 e ' = 5 2 - 3 2 = 2 2

Então a nossa equação é:

2 v 2 - 8 2 u + 2 2 v + 25 = 0

Mas ainda podemos ajeitar um pouco.

Passo 5

Para melhorar essa expressão, vamos completar quadrados. Mas antes vamos agrupar alguns termos:

2 v 2 - 8 2 u + 2 2 v + 25 = 0

2 v 2 + 2 v - 8 2 u + 25 = 0

Agora dê uma olhada nesse produto notável:

2 v + 2 2 2 = 2 v 2 + 2 2 v + 1

Então:

2 v 2 + 2 v - 8 2 u + 25 + 1 = 1

2 v + 2 2 2 - 8 2 u + 25 = 1

v + 2 2 2 = 4 2 u - 12

Melhorando ainda mais:

v + 2 2 2 = 4 2 u - 3 2 2

Agora fica claro que é a equação de uma parábola! Vamos procurar algumas propriedades.

Passo 6

Lembrando que nós aplicamos essa transformação de coordenadas:

x = u 2 - v 2 y = u 2 + v 2

E nossa equação é:

v + 2 2 2 = 4 2 u - 3 2 2

Isso quer dizer que o vértice da parábola, no sistema de coordenadas novo, é:

u 0 , v 0 = 3 2 2 , - 2 2

Jogando isso na nossa transformação de coordenadas:

x = 1 2 3 2 2 + 2 2 = 2 y = 1 2 3 2 2 - 2 2 = 1

Então o vértice é:

V = 2,1

A equação da parábola tem essa forma geral:

y 2 = 4 p x

No nosso caso, u (que cumpre o papel de x ) está multiplicado por 4 2 . Então o parâmetro é:

4 p = 4 2

p = 2

Agora veja esse desenho: a linha pontilhada é a parábola desenhada no sistema u , v e a outra é a equação original:

Resposta

A equação descreve uma parábola de equação v + 2 2 2 = 4 2 u - 3 2 2 .

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