Enunciado

Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos ( a , b , c ou p ) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.

(b) 7 x 2 + 24 x y - 256 x - 192 y + 1456 = 0

Passo 1

(b) Agora queremos resolver essa equação aqui:

7 x 2 + 24 x y - 256 x - 192 y + 1456

Nosso primeiro objetivo aqui vai ser se livrar desse termo misto, o 24 x y .

O primeiro passo pra fazer isso é dar nome para os coeficientes na equação. Lembrando que a forma geral é:

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0

7 x 2 + 24 x y - 256 x - 192 y + 1456 = 0         ⇒           a = 7 b = 24 c = 0 d = - 256 e = - 192 f = 1456

E a ideia aqui é aplicar uma rotação de coordenadas dessa forma aqui:

x = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ y = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

Mas vamos usar as fórmulas que o livro demonstra para facilitar essa conta. A ideia é transformar essa equação em uma nova com essa forma aqui:

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f ' = 0

Ok, vamos em frente.

Passo 2

Para encontrar o ângulo θ da nossa rotação, vamos usar essa fórmula aqui:

cotg ⁡ 2 θ = a - c b

No nosso caso:

cotg ⁡ 2 θ = 7 - 0 24 = 7 24

E para descobrir os coeficientes a ' e c ' da nova equação, temos que primeiro encontrar o sen ⁡ 2 θ . Dá pra fazer isso usando essa fórmula:

sen ⁡ 2 θ = 1 1 + cotg 2 ⁡ 2 θ  

sen ⁡ 2 θ = 1 1 + 7 24 2 = 1 1 + 49 576

sen ⁡ 2 θ =   1 625 576 = 576 625 = 24 25

Agora é só resolver esse sistema aqui para encontrar a ' e c ' (lembrando que só estamos aplicando fórmulas aqui! Elas valem para qualquer caso de rotação de coordenadas):

a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sen ⁡ 2 θ

Substituindo com os nosso valores:

a ' + c ' = 7 + 0 a ' - c ' = 24 ( 24 / 25 )

a ' + c ' = 7 a ' - c ' = 25

Somando as duas equações:

2 a ' = 32

a ' = 16

E substituindo isso na primeira equação:

c ' = 7 - 16 = - 9

Então por enquanto a nossa equação está assim:

16 u 2 - 9 v 2 + d ' u + e ' v + f ' = 0

Ah, e a constante f não muda com a rotação, então:

f ' = f = 1456

16 u 2 - 9 v 2 + d ' u + e ' v + 1456 = 0

Passo 3

Também calculamos que o ângulo de rotação é tal que:

sen ⁡ 2 θ = 24 25

cotg ⁡ 2 θ = 7 24

Temos que usar isso para descobrir sen ⁡ θ e cos ⁡ θ .

Usando algumas identidades trigonométricas, chegamos em outro sistema (que também faz parte das fómuls para resolver esse problema!)

cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cotg ⁡ 2 θ sen ⁡ 2 θ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Substituindo os valores:

cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 7 24 24 25 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 7 / 25 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Somando as duas equações:

2 cos 2 ⁡ θ = 1 + 7 25 = 32 25

cos 2 ⁡ θ = 16 25

cos ⁡ θ = 4 5

E substituindo isso na segunda equação:

sen 2 ⁡ θ = 1 - 16 25 = 9 25

sen ⁡ θ = 3 5

Aqui não estamos considerando a solução negativa, porque nesse método nós convencionamos que 0 < θ < π / 2 .

Passo 4

Agora que conhecemos esse valores podemos usar mais uma fórmula! Essa serve para calcular d ' e e ' :

d ' = d cos ⁡ θ + e sen ⁡ θ e ' = - d sen ⁡ θ + e cos ⁡ θ

Substituindo d = - 256 , e = - 192 e os valores que calculamos agora:

d ' = - 256 4 5 - 192 3 5 e ' = 256 3 5 - 192 4 5

Resolvendo isso encontramos:

d ' = - 1024 5 - 576 5 e ' = 768 5 - 768 5

d ' = - 1600 5 = - 320 e ' = 0

Então a nossa equação é:

16 u 2 - 9 v 2 - 320 u + 0 v + 1456 = 0

16 u 2 - 9 v 2 - 320 u + 1456 = 0

Mas ainda podemos ajeitar um pouco.

Passo 5

A equação é:

16 u 2 - 9 v 2 - 320 u + 1456 = 0

Vamos completar quadrados:

16 u - 10 2 = 16 u 2 - 320 u + 1600

Então, somando 1600 dos dois lados:

16 u 2 - 9 v 2 - 320 u + 1456 + 1600 = 1600

16 u - 10 2 - 9 v 2 + 1456 = 1600

16 u - 10 2 - 9 v 2 = 144

16 u - 10 2 - 9 v 2 = 144

Dividindo tudo por 16 9 = 144 :

u - 10 2 3 2 - v 2 4 2 = 1

Beleza, já dá pra ver que é a equação de uma hipérbole. Vamos procurar alguns dos seus parâmetros.

Passo 6

Só lembrando que nós aplicamos essa transformação de coordenadas aqui:

x = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ y = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

E como nós já calculamos o seno e o cosseno de θ :

x = ( 4 / 5 ) u - ( 3 / 5 ) v y = ( 3 / 5 ) u + ( 4 / 5 ) v

Olhando para a nossa equação:

u - 10 2 3 2 - v 2 4 2 = 1

O centro no sistema de coordenadas novo é:

u 0 , v 0 = 10 , 0

x = 4 5 10 - 3 5 0 = 8 y = 3 5 10 + 4 5 0 = 6

Então o centro no sistema antifo é:

C = 8,6

E só olhando os denominadores na nossa equação, dá pra ver que os parâmetros são:

a = 3

b = 4

c = a 2 + c 2 = 5

O primeiro foco, no sistema antigo, é:

F 1 = c , 0 = 5,0

E no sistema novo:

x = 4 5 5 - 3 5 0 = 4 y = 3 5 5 + 4 5 0 = 3         ⇒           F 1 = 4,3

E para encontrar o segundo é só somar as coordenadas do centro da hiérbole:

C = 8,6

F 2 = 4 + 8,6 + 3 = 12,9

Resposta

A equação descreve uma hipérbole de equação u - 10 2 3 2 - v 2 4 2 = 1 no sistema rotacionado.

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