Enunciado

Identifique o tipo de cônica representada pela equação girando os eixos para colocar a cônica em posição canônica. Encontre a equação da cônica no sistema de coordenadas girado e determine o ângulo de rotação.

5 x 2 + 4 x y + 5 y 2 = 9

Passo 1

Para encontrarmos o que desejamos, vamos proceder da seguinte forma:

5 x 2 + 4 x y + 5 y 2 = 9

Temos que a forma quadrática associada a A é

Q a x = x T A x = 9

Onde A = 5 2 2 5 e x = x , y .Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 5 2 2 5 = det ⁡ λ - 5 - 2 - 2 λ - 5

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 - 10 λ + 21

Cujas raízes são λ 1 = 3   e   λ 2 = 7 .

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 5 - 2 - 2 λ - 5 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 3 vamos obter o seguinte sistema

- 2 2 2 - 2 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

L 2 - L 1 → L 2 ,     - L 1 2 → L 1

→ 1 1 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 1 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 + x 2 = 0 → x 1 = - x 2

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

- 1 1

Passo 3

Procedendo da mesma forma para o segundo autovalor λ 2 = 7 vamos obter o seguinte sistema

2 - 2 - 2 2 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

  L 2 + L 1 → L 2 ,     L 1 2 → L 1

→ 1 - 1 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 - 1 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 - x 2 = 0 → x 1 = x 2

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

1 1

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 - 1 2 + | 1 | 2 ⋅ - 1 1 = 1 2 ⋅ - 1 1 = - 1 2 1 2

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 1 2 + | 1 | 2 ⋅ 1 1 = 1 2 1 2

Portanto a matriz ortonormal P será dada por

P = - 1 2 1 2 1 2 1 2

Passo 5

Agora, de acordo com o teorema 3 e lembrando que x T A x = 9 as coordenadas da nossa cônica no sistema de coordenadas x ' y ' será

x ' y ' ⋅ 7 0 0 3 ⋅ x ' y ' = 9 → 7 x ' 2 + 3 y ' 2 = 9 → x ' 2 9 7 + y ' 2 3 = 1

Que é uma equação de uma elipse.

Passo 6

Por fim, para encontrarmos o ângulo de rotação vamos tomar a seguinte equação

P = - 1 2 1 2 1 2 1 2 = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Dessa igualdade, tiramos que

cos ⁡ θ = 1 2     e     sin ⁡ θ = 1 2

→ tan ⁡ θ = 2 → θ ≈ 45 °

Pronto, finalizado nosso exercício.

Resposta

E l i p s e   : x ' 2 9 7 + y ' 2 3 = 1 ,   θ ≈ 45 °

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