Enunciado

Identifique o tipo de cônica representada pela equação girando os eixos para colocar a cônica em posição canônica. Encontre a equação da cônica no sistema de coordenadas girado e determine o ângulo de rotação.

2 x 2 - 4 x y - y 2 + 8 = 0

Passo 1

Para encontrarmos o que desejamos, vamos proceder da seguinte forma: vamos primeiramente fazer a seguinte manipulação com a equação que nos foi fornecida

2 x 2 - 4 x y - y 2 + 8 = 0 → 2 x 2 - 4 x y - y 2 = - 8

Temos que a forma quadrática associada a A é

Q a x = x T A x = - 8

Onde A = 2 - 2 - 2 - 1 e x = x , y .Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 2 - 2 - 2 - 1 = det ⁡ λ - 2 2 2 λ + 1

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 - λ - 6

Cujas raízes são λ 1 = - 2   e   λ 2 = 3 .

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 2 - 2 - 2 λ + 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = - 2 vamos obter o seguinte sistema

- 4 2 2 - 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

L 2 - L 1 2 → L 2 ,     - L 1 4 → L 1

→ 1 - 1 2 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 - 1 2 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 - x 2 2 = 0 → x 2 2 = x 1

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

1 / 2 1 = 1 2

Passo 3

Procedendo da mesma forma para o segundo autovalor λ 2 = 3 vamos obter o seguinte sistema

1 2 2 4 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

t r o c a r   L 1   c o m   L 2 ,     L 2 - L 1 2 → L 2 ,     L 1 2 → L 1

→ 1 2 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 2 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 + 2 x 2 = 0 → x 1 = - 2 x 2

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

- 2 1

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 1 2 + | 2 | 2 ⋅ 1 2 = 1 5 ⋅ 1 2 = 1 5 2 5

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 - 2 2 + | 1 | 2 ⋅ - 2 1 = - 2 5 1 5

Portanto a matriz ortonormal P será dada por

P = 1 5 - 2 5 2 5 1 5

Passo 5

Agora, de acordo com o teorema 3 e lembrando que x T A x = - 8 as coordenadas da nossa cônica no sistema de coordenadas x ' y ' será

x ' y ' ⋅ 3 0 0 1 ⋅ x ' y ' = - 8 → - 2 x ' 2 + 3 y ' 2 = - 8 → x ' 2 4 - y ' 2 8 / 3 = 1

Que é uma hipérbole.

Passo 6

Por fim, para encontrarmos o ângulo de rotação vamos tomar a seguinte equação

P = 1 5 - 2 5 2 5 1 5 = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Dessa igualdade, tiramos que

cos ⁡ θ = 1 5     e     sin ⁡ θ = 2 5

→ tan ⁡ θ = 2 → θ ≈ 63.4 °

Finalizado nosso exercício.

Resposta

H i p é r b o l e   : x ' 2 4 - y ' 2 8 3 = 1 ,   θ ≈ 63.4 °  

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