Enunciado

Seja V o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u = u 1 , u 2 , u 3 e v = v 1 , v 2 , v 3 por

u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 ,     a u = a u 1 , 0,0

a Calcule u + v e a u com u = 3 , - 2,4 ,   v = 1,5 , - 2   e   a = - 1 .

b Explique em palavras por que V é fechado na adição e na multiplicação por escalar.

c Como a adição em V é a operação de adição padrão de R 3 , alguns axiomas de espaço vetorial valem em V porque é sabido que valem em R 3 . Quais axiomas da Definição 1 da seção 4.1 são esses?

d Mostre que valem os axiomas 7,8 e 9.

e Mostre que o axioma 10 falha com as operações dadas.

Passo 1

Para o primeiro item é bastante simples a nossa solução basta substituirmos os valores dados para os vetores nas fórmulas descritas. Assim, obteremos

u + v = 3 + 1 , - 2 + 5,4 + - 2 = 4,3 , 2

a u = - 1 ⋅ u = - 1 ⋅ 3,0 , 0 = - 3,0 , 0

Passo 2

Já para o segundo item temos que falar com nossas palavras o que é ser fechado para a adição e multiplicação por escalar. Sendo assim, observe que V é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais. A adição e a multiplicação por escalar produzem um terno de números reais quando eles são realizados. Portanto, V é fechado nas duas operações. Dessa forma, dando prosseguimento à nossa resolução vamos ter que os axiomas da definição 1 da seção 4.1 que podem ser aplicados a V são os axiomas 1   e   5 pois eles se concentram exclusivamente na adição e como nossa operação de adição nesse espaço é a convencional esses axiomas são válidos.

Passo 3

Agora, temos que provar os axiomas 7,8   e   9 valem no nosso espaço vetorial. Assim teremos primeiramente para o axioma 7 que nos diz que

a ⋅ u + v = a u + a v  

Para prova-lo vamos sair do lado esquerdo e chegar ao direito fazendo

a ⋅ u + v = a ⋅ u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 = a u 1 + v 1 , 0,0

a ⋅ u + v = a u 1 , 0,0 + a u 2 , 0,0 = a u + a v

Procedendo da mesma forma para o axioma 8 que diz

a + b ⋅ u = a u + b u  

Em V vamos ter

a + b ⋅ u = a + b ⋅ u 1 , 0,0 = a u 1 + b u 1 , 0,0 = a u 1 , 0,0 + b u 1 , 0,0 = a u + b u

Por fim, para o axioma 9 temos

a ⋅ b u = a b ⋅ u

a ⋅ b u = a ⋅ b u 1 , 0,0 = a b u 1 , 0,0 = a b ⋅ u

Passo 4

Finalmente, para concluirmos o exercício devemos provar que o axioma 10 não é válido para esse espaço V . Esse axioma nos diz que

1 u = u

No caso de V com a operação de multiplicação por escalar dada vamos ter que

1 ⋅ u = 1 ⋅ u 1 , u 2 , u 3 = 1 ⋅ u 1 , 0,0   ≠ u

Portanto, esse axioma não é válido e está mostrado tudo que o exercício desejava de nós.

Resposta

a   u + v = 4,3 , 2 ,   a u = - 3,0 , 0

b Sendo assim, observe que V é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais. A adição e a multiplicação por escalar produzem um terno de números reais quando eles são realizados. Portanto, V é fechado nas duas operações

c Os axiomas 1   e   5 .

d   D e m o n s t r a ç ã o  

e   D e m o n s t r a ç ã o

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