Enunciado

8.a) Justifique a seguinte regra para determinar o vetor x → = u → + v → + w → , tornam-se representantes consecutivos, isto é, a origem de cada um coincidindo com a extremidade do anterior e “fecha-se o polígono”

b) Mostre que a regra do item a vale para quatro e cinco parcelas (é possível um número qualquer de parcelas usando o Princípio de indução finita)

c) Determine a soma dos vetores indicados em cada caso da figura 2-8.

Passo 1

Desenharemos os vetores consecutivos como a letra a), pede:

O vetor A D → é igual a x → , vetor A B →   é igual a u → , vetor B C →   é igual a v → e vetor C D →   é igual a w → .

Agora vamos de A até   D .

Vamos inicialmente de A até B , depois partimos para C   e finalmente de C vamos para D . Escrito vetorialmente é assim:

A D → = A B → + B C → + C D →

Substituindo:

x → = u → +   v → + w →

Como imaginávamos!! Essa é a regra do polígono.

Passo 2

Agora vamos para a letra b).

Primeiro ele pede para fazermos com 4 vetores! Então, vamos lá:

Temos que provar que x → = u → + v → + w → + k →

Da figura, temos:

A B → = u →

B C → = v →

C D → = w →

D E → = k →

Vamos de A até E !

Vamos de A para B , de B para C , de C para D , D para E .

A E → = A B → + B C → + C D → + D E →

Substituindo:

x → = u → + v → + w → + k →

Agora para 5 vetores!

Temos que provar que x → = u → + v → + w → + k → + p →

Da figura, temos:

A B → = u →

B C → = v →

C D → = w →

D E → = k →

E F → = k →

Vamos de A até   F !

Vamos de A para B , de B para C , de C para D , D para E e por fim de E   para F .

A E → = A B → + B C → + C D → + D E → + E F →

Substituindo:

x → = u → + v → + w → + k → + p →

Pronto, demostramos para 4 vetores e para 5 vetores, essa regra serve para n vetores!!

Passo 3

Temos que “fechar polígonos” em todas as figuras

Vamos para a primeira.

Para fechar o polígono com os vetores consecutivo, temos que desenhar o vetor   A D → . Então a soma desses vetores é   A D → .

Vamos para a segunda figura.

A soma que a gente quer é:

A B → + C A → + B D → + D C →

Só que A B → + B D → = A D → e C A → + D C → = D A →

Substituindo na expressão da soma, temos:

A B → + C A → + B D → + D C → = A D → + D A → = 0 →

Então a soma dos vetores é igual a 0 → .

Vamos para a terceira figura:

A soma que a gente quer é:

B A → + A D → + A C → + D B → + C D →

Só que B A → + A D → = B D → e A C → + C D → = A D → . Substituindo tudo na expressão, temos:

B A → + A D → + A C → + D B → + C D → = B D → + A D → + D B →

Lembrando que B D → + D B → = 0 → :

B A → + A D → + A C → + D B → + C D → = B D → + A D → + D B → = A D →

Então, a soma dos vetores da figura é igual a A D →

Agora vamos para a última:

Nessa figura, apenas precisamos completar o polígono, e para completar só falta a aresta A C → .

Então a soma desses vetores da figura é igual a A C → .

Resposta

c) Figura A:   A D →

Figura B:   0 →

Figura C:   A D →

Figura D: A C →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos) (b): A = 4 , - 1,1 , B = 9 , - 4,2 , C = ( 4,3 , 4 ) e D = ( 9 , 0 , 5 )
Quais dos seguintes vetores são paralelos U = 6 , - 4 , - 2 , V = - 9,6 , 3 , W = 15 , - 10,5 .
Considere o triângulo A B C e sejam M o ponto médio de B C , N o ponto médio de A C e P o ponto médio de A B . Mostre que as medianas (os segmentos A M , B NeC P ) se cortam num mesmo ponto que divide
Demonstre que se V e W são vetores quaisquer, então: (b): V + W ≤ V + W ;
Ache X tal que Xxi → + k → = 2 ( i → + j → - k → ) e X = 6 .