Enunciado

O lado do quadrado da Figura 9-4 (a) mede 2 e M é o ponto médio de B C .

a) Escreva   D M → B D → como combinação linear de   D C → e   D A → .

b) Calcule a medida angular entre D M → B D → .

Passo 1

O primeiro passo é escrever D M → B D → como combinação linear de   D C → e   D A → . Para isso, note que

D M → = D A → + A B → + B M →

Mas note que

A B → = D C →           e           B M → = - 1 2   D A →

Assim,

D M → = 1 2   D A → + D C →

Da mesma forma,

B D → = B A → + A D → = - D C → - D A →

Passo 2

Por simplicidade, vamos escrever u → = D C → e v → = D A → . Temos que

u → ⋅ u → = v → ⋅ v → = 2 2 = 4

u → ⋅ v → = 0

Queremos achar o ângulo θ entre D M → B D → , sendo

D M → = u → + 1 2 v →               e           B D → = - u → - v →

Fazendo o produto escalar:

D M → ⋅ B D → = u → + 1 2 v → ⋅ - u → - v → = - u → ⋅ u → - 1 2 v → ⋅ v → - 3 2 u → ⋅ v → = - 4 - 1 2 ⋅ 4 - 0 = - 6

Passo 3

Precisamos também das normas desses vetores:

D M → 2 = u → + 1 2 v → ⋅ u → + 1 2 v → = u → ⋅ u → + 1 4 v → ⋅ v → + u → ⋅ v → = 4 + 1 4 ⋅ 4 + 0 = 5 ⇒ D M → = 5

B D → 2 = - u → - v → ⋅ - u → - v → = u → ⋅ u → + v → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → = 4 + 4 + 0 = 8 ⇒ B D → = 2 2

Portanto,

cos ⁡ θ = D M → ⋅ B D → D M → B D → = - 6 5 ⋅ 2 2 = - 3 10

Assim,

θ = arccos ⁡ - 3 10

Resposta

D M → = 1 2   D A → + D C →

B D → = - D C → - D A →

θ = arccos ⁡ - 3 10

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