Enunciado

Sejam u → , v → e w → vetores de norma 1 tais que u → ⋅ v → = w → ⋅ v → = u → ⋅ w → = 1 / 2 . Verifique se   w → é combinação linear de u → , v → .

Passo 1

Bom, o exercício pede para verificarmos se w → é combinação linear de u → , v → . Para isso, basta verificar se o conjunto u → ,   v → ,   w → é LD ou LI. Tomamos,

a u → + b v → + c w → = 0 →

Se a única forma de satisfazer essa igualdade é a = b = c = 0 , então o conjunto é LI. Se a relação for válida para algum a , b ou c diferente de 0 , então o conjunto é LD!

A sacada aqui é tomar o produto escalar de a u → + b v → + c w → com ele próprio:

a u → + b v → + c w → ⋅ a u → + b v → + c w → = 0 → ⋅ 0 → = 0

Fazendo a distributiva:

a 2 u → ⋅ u → + b 2 v → ⋅ v → + c 2 w → ⋅ w → + 2 a b   u → ⋅ v → + 2 b c   v → ⋅ w → + 2 a c   u → ⋅ w → = 0

Passo 2

Como os vetores são unitários: u → ⋅ u → = v → ⋅ v → = w → ⋅ w → = 1 . Assim, como u → ⋅ v → = w → ⋅ v → = u → ⋅ w → = 1 / 2 , temos que:

a 2 + b 2 + c 2 + a b + b c + a c = 0

A única solução dessa equção é a = b = c = 0 . Portanto, o conjunto é LI, de modo que   w → não pode ser escrito como combinação linear de u → e v → .

Uma outro forma de pensar é encontrar que o ângulo entre cada um dos vetores é sempre de 60 ° , de modo que eles não podem estar todos dispostos no mesmo plano, sendo assim LI!

Resposta

N ã o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a integral. ∫ t e 2 t i ^ + t 1 - t j ^ + 1 1 - t ² k ^ d t ²
Três forças atuam sobre um objeto. Duas das forças estão a um ângulo de 100 ° entre si e têm magnitudes de 25 N e 12 N. O terceiro é perpendicular ao plano das duas forças e tem magnitude 4 N. Calcule
Um barqueiro quer atravessar um canal que fica a 3 km de largura e quer atracar em um ponto 2 km acima do seu ponto de partida. A corrente flui no canal a 3,5 km/h e a velocidade do seu barco é 13 km/
Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor dado. 9 , - 5
Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor dado. 12 i - 5 j