Enunciado

Para as matrizes do exerc��cio anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .

Passo 1

Fala ae, blz?

Para resolver essa questão temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 → para λ = - 1,2   e   3 .

Para λ = - 1 .

A 3 x 3 é uma matriz 3 x 3 e X n x 1 é uma matriz n x 1 .

Para podermos utilizar a propriedade multiplicativa de matrizes, devemos assegurar que o n° de colunas de A 3 x 3 seja igual ao n° de linhas de X n x 1 .

Portanto, n = 3 .

Sendo n = 3 , temos I n = I 3 .

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

  2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 - - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Temos:

3 0 0 3 0 0 0 4 4 . x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Multiplicando linha por coluna, chegamos a um sistema linear:

3 x 1 = 0 3 x 1 = 0 4 x 2 + 4 x 3 = 0

L 1 : 3 x 1 = 0   → x 1 = 0

L 3 : 4 x 2 + 4 x 3 = 0   → x 3 = - x 2

w - 1 = 0 x 2 - x 2 ; x 2   ∈   R

Passo 2

Agora, temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 →

Para λ = 2

Já vimos que n = 3 e I n = I 3

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 - 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Temos:

0 0 0 3 - 3 0 0 4 1 . x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Multiplicando linha por coluna chegamos a um sistema linear:

0 = 0 3 x 1 - 3 x 2 = 0 4 x 2 + x 3 = 0

L 2 :   3 x 1 - 3 x 2 = 0   → x 1 = x 2

L 3 :   4 x 2 + x 3 = 0   → x 3 =   - 4 x 2

w 2 = x 2 x 2 - 4 x 2 ; x 2   ∈   R

Passo 3

Agora, vamos satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 →

Para λ = 3

Já vimos que n = 3 e I n = I 3

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 - 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Temos:

- 1 0 0 3 - 4 0 0 4 0 . x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Multiplicando linha por coluna chegamos a um sistema linear:

- x 1 = 0 3 x 1 - 4 x 2 = 0 4 x 2 = 0

L 3 :   4 x 2 = 0   → x 2 = 0

L 1 :   - x 1 = 0   → x 1 = 0

w 3 = 0 0 x 3 ; x 3   ∈   R

Resposta

w - 1 = 0 x 2 - x 2 ; x 2   ∈   R

w 2 = x 2 x 2 - 4 x 2 ; x 2   ∈   R

w 3 = 0 0 x 3 ; x 3   ∈   R

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38. Qual é o número máximo de zeros que uma matriz 3 x 3 pode ter sem ter determinante zero ? Explique seu raciocínio.
Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.23. A = 1 k k 2 1 k k 2 1 k k 2
Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.25. A = 3 305 2 20 - 2 4 1 - 30 2 1032
Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.26. A = 40010 333 - 10 12423 94623 22423
42. Prove que se A for uma matriz triangular superior e se B i j for a matriz que resulta quando suprimos a i -ésima linha e a j -ésima coluna de A, então B i j é triangular superior se ij .