Enunciado

42. Prove que se A for uma matriz triangular superior e se B i j for a matriz que resulta quando suprimos a i -ésima linha e a j -ésima coluna de A, então B i j é triangular superior se i < j .

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos pegar uma matriz triangular superior genérica A de ordem 4 .

A = a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44

A matriz B i j é a matriz que resulta quando excluímos uma linha i e coluna j da matriz original.

Agora vamos encontrar as matrizes B i j , com i < j .

Passo 2

Agora vamos encontrar as matrizes B i j , com i < j .

B 12 = 0   a 23 a 24 0   a 33 a 34 0 0 a 44 B 1 3 = 0   a 2 2 a 24 0 0 a 34 0 0 a 44 B 1 4 = 0   a 22 a 2 3 0 0 a 3 3 0 0 0

B 23 = a 11   a 1 2 a 1 4 0 0 a 34 0 0 a 44 B 2 4 = a 11   a 1 2 a 1 3 0   0 a 33 0   0 0 B 3 4 = a 11     a 12 a 13 0     a 22 a 2 3 0     0 0

Logo pela definição de matriz triangular superior, todas essas matrizes B i j , com i < j , são matrizes triangular superior, pois:

- Uma matriz quadrada B é triangular superior se, e só se, todas as entradas à esquerda da diagonal principal são nulas, ou seja, b i j = 0 com i > j .

Passo 3

A partir das informações que obtivemos, podemos provar que se A for uma matriz triangular superior e se B i j for a matriz que resulta quando excluímos uma linha i e coluna j da matriz A , então B i j é triangular superior se i < j .

Isso vale pra qualquer matriz triangular superior de ordem n , pois como sempre estamos retirando uma linha e coluna com a condição de que i < j . Logo estamos reduzindo a matriz a uma ordem menor e conservando os elementos nulos abaixo da diagonal principal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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