Enunciado

Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .

Passo 1

Fala ae, blz?

Para resolver essa questão temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 → para λ = 1   e   2 .

Para λ = 1 .

A 3 x 3 é uma matriz 3 x 3 e X n x 1 é uma matriz n x 1 .

Para podermos utilizar a propriedade multiplicativa de matrizes, devemos assegurar que o n° de colunas de A 3 x 3 seja igual ao n° de linhas de X n x 1 .

Portanto, n = 3 .

Sendo n = 3 , temos I n = I 3 .

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

  2 3 0 0 1 0 0 0 2 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Temos:

1 3 0 0 0 0 0 0 1 . x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Multiplicando linha por coluna, chegamos a um sistema linear:

x 1   - 3 x 2 = 0 0 = 0 x 3 = 0

L 3 : x 3 = 0  

L 1 : = x 1   - 3 x 2 = 0   → x 1 = 3 x 2

w 1 = 3 x 2 x 2 0 ; x 2   ∈   R

Passo 2

Agora, temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 →

Para λ = 2

Já vimos que n = 3 e I n = I 3

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

2 3 0 0 1 0 0 0 2 - 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Temos:

0 3 0 0 - 1 0 0 0 0 . x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

Multiplicando linha por coluna chegamos a um sistema linear:

3 x 2 = 0 - x 2 = 0 0 = 0

L 1 :   3 x 2 = 0   → x 2 = 0

w 2 = x 1 0 x 3 ; x 1 , x 3   ∈   R

Resposta

w 1 = 3 x 2 x 2 0 ; x 2   ∈   R

w 2 = x 1 0 x 3 ; x 1 , x 3   ∈   R

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