Enunciado

Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .

Passo 1

Fala ae, blz?

Para resolver essa questão temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 → para λ = - 1 ,   1 ,   2   e   3 .

Para λ = - 1 .

A 4 x 4 é uma matriz 4 x 4 e X n x 1 é uma matriz n x 1 .

Para podermos utilizar a propriedade multiplicativa de matrizes, devemos assegurar que o n° de colunas de A 4 x 4 seja igual ao n° de linhas de X n x 1 .

Portanto, n = 4 .

Sendo n = 4 , temos I n = I 4 .

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

  1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 - - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Temos:

2 2 3 4 0 0 3 2 0 0 4 3 0 0 0 3 . x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Multiplicando linha por coluna, chegamos a um sistema linear:

2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 3 x 3 + 2 x 4 = 0 4 x 3 + 3 x 4 = 0 3 x 4 = 0

L 4 : 3 x 4 = 0   → x 4 = 0

L 3 : 4 x 3 + 3 x 4 = 0   → x 3 = 0

L 1 :   2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 - 4 x 4 = 0   → x 1 = - x 2

w - 1 = - x 2 x 2 0 0 ; x 2   ∈   R

Passo 2

Agora, temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 →

Para λ = 1

Já vimos que n = 4 e I n = I 4

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

  1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Temos:

0 2 3 4 0 - 2 3 2 0 0 2 3 0 0 0 1 . x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Multiplicando linha por coluna, chegamos a um sistema linear:

2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 - 2 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 2 x 3 + 3 x 4 = 0 x 4 = 0

L 4 : x 4 = 0  

L 3 : 2 x 3 + 3 x 4 = 0   → x 3 = 0

L 2 :   - 2 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0   → x 2 = 0

w 1 = x 1 0 0 0 ; x 1   ∈   R

Passo 3

Temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 →

Para λ = 2

Já vimos que n = 4 e I n = I 4

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

  1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 - 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Temos:

- 1 2 3 4 0 - 3 3 2 0 0 1 3 0 0 0 0 . x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Multiplicando linha por coluna, chegamos a um sistema linear:

- x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 - 3 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 x 3 + 3 x 4 = 0 0 = 0

L 3 : x 3 + 3 x 4 = 0   → x 3 = - 3 x 4

L 2 :   - 3 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0   → x 2 = - 7 x 4 3

L 1 :   - x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0   → x 1 = - 29 x 4 3

w 2 = - 29 x 4 3 - 7 x 4 3 - 3 x 4 x 4 ; x 4   ∈   R

A resposta também pode ser dada multiplicando todos os termos por 3:

w 2 = - 29 x 4 - 7 x 4 - 9 x 4 3 x 4 ; x 4   ∈   R

Passo 4

Temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 →

Para λ = 3

Já vimos que n = 4 e I n = I 4

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

  1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 - 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Temos:

- 2 2 3 4 0 - 4 3 2 0 0 0 3 0 0 0 - 1 . x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Multiplicando linha por coluna, chegamos a um sistema linear:

- 2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 - 4 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 3 x 4 = 0 - x 4 = 0

L 3 : 3 x 4 = 0   → x 4 = 0

L 2 :   - 4 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0   → x 2 = 3 4 x 3

L 1 :   - 2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0   → x 1 = 9 x 3 4

w 3 = 9 x 3 4 3 x 3 4 x 3 0 ; x 3   ∈   R

A resposta também pode ser dada multiplicando todos os termos por 4:

w 3 = 9 x 3 3 x 3 4 x 3 0 ; x 3   ∈   R

Resposta

w - 1 = - x 2 x 2 0 0 ; x 2   ∈   R

w 1 = x 1 0 0 0 ; x 1   ∈   R

w 2 = - 29 x 4 - 7 x 4 - 9 x 4 3 x 4 ; x 4   ∈   R  

w 3 = 9 x 3 3 x 3 4 x 3 0 ; x 3   ∈   R

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