Enunciado

(a) Mostramos no Exemplo 1 que os vetores mutuamente ortogonais i ,   j e k formam um conjunto linearmente independente de vetores em R 3 . Será que qualquer conjunto de vetores mutuamente ortogonais em R 3 forma um conjunto linearmente independente? Justifique sua conclusão geometricamente.

(b) Justifique sua conclusão algebricamente. [Sugestão: use produto escalar.]

Passo 1

  1. Independente, do sentindo e do módulo dos 3 vetores, se eles são ortogonais entre si eles não se projetam entre si, por isso o conjunto que os contém é linearmente independente.

    Passo 2

Tendo 3 vetores v 1 = x ,   0 ,   0 ,   v 2 = 0 ,   y ,   0 ,   v 3 = 0 ,   0 ,   z , vamos fazer a combinação linear entre os 3.

a ⋅ v 1 + b ⋅ v 2 + c ⋅ v 3 = 0

a x î + b y j ^ + c z k ^ = ( 0 ,   0 ,   0 )

a x = 0

b y = 0

c z = 0

Sendo nosso conjunto não nulo, logo é L.I.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Explique por que a proposição anterior é válida também para n ≥ 4 .
Prove: ( u → ,v → ) é LI ⇔ ( u → + v → ,u → - v → ) é LI.
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