Enunciado

Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A 1 ,   - 2 ,   3 ,     B 4 ,   3 ,   - 1 ,     C ( 5 ,   7 ,   - 3 ) e D ( 2 ,   2 ,   1 ) é um paralelogramo e calcular sua área.

Passo 1

Neste problema, vamos mostrar que o quadrilátero, cujos vértices são os pontos A 1 ,   - 2 ,   3 ,     B 4 ,   3 ,   - 1 ,     C ( 5 ,   7 ,   - 3 ) e D ( 2 ,   2 ,   1 ) é um paralelogramo. E com isso então, vamos calcular a sua área. Vamos lá?

Passo 2

Vamos fazer uma ilustração da nossa figura? Que é dada por:

Passo 3

Sabemos que para ser um paralelogramo, a equação A B → + A D → = A C → tem que ser satisfeita. Então, vamos determinar esses vetores:

A B → = B - A = 4 ,   3 , - 1 - 1 , - 2 ,   3 = 3 ,   5 , - 4

A D → = D - A = 2 ,   2 ,   1 - 1 , - 2 ,   3 = 1 ,   4 , - 2

A C → = 5 ,   7 , - 3 - 1 , - 2 ,   3 = 4 ,   9 , - 6

Passo 4

Vamos substituir os valores na equação: A B → + A D → = A C → :

3 ,   5 , - 4 + 1 ,   4 , - 2 = 4 ,   9 , - 6

4 ,   9 , - 6 = 4 ,   9 , - 6

Visto que a igualdade foi satisfeita, chegamos à conclusão de que é um paralelogramo.

Agora, partiu calcular a área dele!

Passo 5

Calculando a área, temos:

A B → × A D → = i → j → k → 3 5 - 4 1 4 - 2 = - 10 i → - 4 j → + 12 k → - - 16 i → - 6 j → + 5 k → = 6 i → + 2 j → + 7 k → = ( 6 ,   2 ,   7 )

Á r e a = A B → × A D → = 6 2 + 2 2 + 7 2 = 36 + 4 + 49 = 89

Portanto, o valor da área do paralelogramo vale 89 u.a.

Resposta

89 u.a.

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